¿Qué es una raíz cuadrada y para qué sirve?

¿Qué son esas raíces cuadradas misteriosas que suelen confundir a los estudiantes y complicarles la vida? La verdad que es de trata de un tema que, para comprenderlo, debemos entender el concepto de la operación inversa.

¿Qué es una raíz cuadrada?

Cuando resolvemos un ejercicio como 5=252 está claro que 5 por 5 (es decir, multiplicar la cifra por sí misma) da como resultado 25. Este es el concepto de la potencia o, para ser más precisos, de la potencia al cuadrado que, para aplicarla, hemos de multiplicar la cifra o el número por sí.

El concepto de «raíz cuadrada» hace referencia a la operación inversa a las potencias al cuadrado.

Es decir, si tenemos \(X^2=25\) y queremos hallar el valor de X, lo que tenemos que hacer es realizar una operación idéntica en los dos miembros de la ecuación.

Esta operación es la raíz cuadrada.

Así, tenemos: \(\sqrt{X^2} = \sqrt{25}\)y el resultado es X=5.

Ahora explicamos de manera más detallada la operación que hemos realizado.

  • En el miembro izquierdo de la ecuación, la raíz cuadrada neutraliza la potencia al cuadrado (la raíz cuadrada y la potencia al cuadrado son operaciones inversas, ¿te acuerdas?).
  • En el miembro derecho, buscamos la cifra o el número que, cuando se eleva al cuadrado, nos da como resultado 25.

Hay dos números que cumplen con estos requisitos: 5 y -5.

Dicho esto, es importante recordar que la raíz cuadrada de un número siempre será positiva.

Por ello, de manera resumida, en el ejercicio: \(X^2=25\) por ejemplo, tenemos dos respuestas posibles: 5 y -5.

Si se nos da la expresión matemática \( \sqrt{25}\) la única respuesta posible será 5.

Condiciones para hallar la raíz cuadrada

  • La única condición que debe darse para hallar una raíz cuadrada es que el número que se encuentre bajo la raíz cuadrada sea positivo.

No se puede hallar la raíz cuadrada de un número negativo, es decir, la expresión \( \sqrt{-25}\) no es correcta y carece de respuesta.

Por otro lado,

  • el resultado de una raíz cuadrada no tiene por qué ser necesariamente un número entero,

es decir, siempre y cuando el número que se encuentre bajo la raíz cuadrada sea positivo, podremos hallar su raíz cuadrada.

Por ejemplo: \(\sqrt{89527}\approx 299.210\)

Cálculo de raíces cuadradas simples

Las raíces cuadradas simples se basan en las tablas de multiplicar. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo n.º 1: \(\sqrt{64}\)

Solución: la raíz cuadrada, como ya hemos visto, es la operación inversa a la potencia al cuadrado. Así, nos debemos preguntar qué número al cuadrado o qué número multiplicado por sí mismo dará como resultado 64. 

Dado que: \(8^2=64 \)

la respuesta será: \(\sqrt{64} = 8\)

Ejemplo n.º 2\(\sqrt{49}\)

Solución: en esta ocasión también nos tenemos que preguntar qué número al cuadrado o qué número multiplicado por sí mismo da como resultado 49. 

Dado que: \(7^2=49 \) la respuesta será: \(\sqrt{49} = 7\)

Ejemplo n.º 3\(\sqrt{9}\)

Solución: siguiendo la misma lógica, vemos que \(3^2=9 \)y, por tanto, la respuesta será: \(\sqrt{9} = 3\).


Operaciones matemáticas y raíces cuadradas

En este apartado aplicaremos lo aprendido hasta ahora en lo que a raíces cuadradas se refiere y veremos cómo podemos utilizar esta información para resolver ejercicios algebraicos que incluyen raíces cuadradas.

Una regla importante que debemos recordar cuando vayamos a resolver este tipo de ejercicios es que:

las raíces cuadradas deben resolverse en primer lugar, es decir, antes que cualquier otra operación matemática que se encuentre fuera de la raíz cuadrada en sí.

Ejercicio n.º 1: 

\(10 + \sqrt{81} =\)

Solución:

En un primer momento, resolveremos la raíz cuadrada, ya que esta precede a la suma que se encuentra fuera de ella.

Así, obtenemos: \(\sqrt{81} = 9\)

Luego proseguimos con el resto del ejercicio: 10+9=19.

Por tanto, el resultado es \(10 + \sqrt{81} =9\)

Ejercicio n.º 2: 

\(3 \times \sqrt{16} +8=\)

Solución:

Este ejercicio es un poco más complicado. En un primer momento deberemos resolver la raíz cuadrada, ya que esta precede a cualquier otra operación que haya en el ejercicio.

Así, obtenemos: \(\sqrt{16} = 4\)

Posteriormente, deberemos abordar el ejercicio como cualquier otro ejercicio matemático: \(3 \times 4 +8\) .

Según el orden de las operaciones matemáticas, las multiplicaciones y divisiones preceden a las sumas y restas. Por tanto, el resultado es: 20.

La respuesta al ejercicio es: \(3 \times \sqrt{16} +8=20\)

Ejercicio n.º 3: \(\sqrt{36} \div3+\sqrt{81}\times2=\)

Solución:

Aquí también debemos resolver en primer lugar las raíces cuadradas.

\(\sqrt{36}=6 \)

\(\sqrt{81}=9\)

Insertamos los números y resolvemos conforme al orden de las operaciones matemáticas:

\(6\div3+9\times2=2+18=20\)

Por tanto, la respuesta es: \(\sqrt{36} \div3+\sqrt{81}\times2=20\)