Dominio de una función

El dominio de una función son todos aquellos valores de \( X \) (variable independiente) que si los colocamos dentro de la función, la función seguirá siendo válida y definida.

El dominio de una función es una parte integral del análisis de funciones. Además, se necesita un conjunto de definición para crear una representación gráfica de la función. 

Ejercicios sobre el dominio de una función:

Ejercicio 1:

Consigna

\( \frac{25a+4b}{7y+4\cdot3+2}=9b \)

¿Cuál es el dominio de la ecuación?

Solución

Debemos calcular para cuantas \( Y \) está prohibido ser igual a \( \frac{25a+4b}{7y+4\cdot3+2}=9b \)

Para esta ecuación podemos observar que tenemos una función racional, entonces para calcular el dominio, tenemos una restricción, la cual es que el denominador no puede ser \( 0 \). Entonces igualamos el denominador a cero para determinar qué valor es el que no puede tomar \( Y \):

\( 7y+12+2=0 \)

Procedemos a resolver la ecuación anterior, despejando a la variable \( Y \)

\( 7y+14=0 \)

Pasamos el \( 14 \) a la sección de la derecha y mantenemos el signo correspondiente

\( 7y=-14 \)

Dividimos por: \( 7 \)

\( y=-2 \)

Si \( Y \) es igual a: \( -2 \) entonces el denominador es igual a \(0 \) y el ejercicio no tiene solución

Respuesta

\( y\ne-2 \)


Ejercicio 2:

Consigna

¿Cuál es el dominio de la ecuación?

\( \frac{xyz}{2(3+y)+4}=8 \)

Solución

Debemos calcular para cuantas \( Y \) está prohibido ser igual a cero

\( 2\left(3+y\right)+4=0 \)

Multiplicamos por \( 2 \) en los dos elementos entre paréntesis

\( 6+2y+4=0 \)

Sumamos

\( 10+2y=0 \)

Pasamos el \( 10 \) a la sección de la derecha

\( 2y=-10 \)

Dividimos por \( 2 \)

\( y=-5 \)

\( y\ne-5 \)

Si \( Y \) es igual a menos \( 5 \) entonces el denominador es igual a \( 0 \) y el ejercicio no tiene solución

Respuesta

\( y\ne-5 \)


Ejercicio 3:

Consigna

\( \frac{\sqrt{15}+34:z}{4y-12+8:2}=5 \)

¿Cuál es el área de aplicación de la ecuación?

Solución

Debemos calcular para cuantas Y está prohibido ser igual a

\( 4y-12+8:2=0 \)

\( 4y-12+4=0 \)

Pasamos las secciones y mantenemos los signos correspondientes

\( 4y=12-4 \)

\( 4y=8 \)

Dividimos por \( 4 \)

\( y=2 \)

Si \( Y \) es igual a: \( 2 \) entonces el denominador es igual a: \( 0 \) y el ejercicio no tiene solución

\( y\ne2 \)

Respuesta

\( y\ne2 \)


Ejercicio 4:

Consigna

Resuelva la siguiente ecuación:

\( \frac{3}{(x+1)^2}+\frac{2x}{x+1}+x+1=3 \)

Solución

\( \frac{3}{(x+1)^2}+\frac{2x}{x+1}+x+1=3\)

Multiplicar por:

\( \left(x+1\right)^2 \)

El área de definición es

\( x\ne-1 \)

\( 3+2x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^3=3 \)

Reducimos por: \( 3 \)

\( \left(x+1\right)\left\lbrack2x+\left(x+1\right)^2\right\rbrack=0 \)

\( 2x+\left(x+1\right)^2=0 \)

\( 2x+x^2+2x+1=0 \)

\( x^2+4x+1=0 \)

\( x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4}}{2} \)

\( \frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}= \)

\( -2\pm\frac{\sqrt{12}}{2} \)

\( -2\pm\frac{2\sqrt{3}}{2}=-2\pm\sqrt{3} \)

Respuesta

\( x=\sqrt{3}-2,-\sqrt{3}-2 \)


Ejercicio 5:

Consigna

Resuelva la siguiente ecuación

\( \frac{(2x+1)^2}{x+2}+\frac{(x+2)^2}{2x+1}=4.5x \)

Solución

\( \frac{(2x+1)^2}{x+2}+\frac{(x+2)^2}{2x+1}=4.5x \)

Multiplicar por: \( \left(x+2\right)\left(2x+1\right) \)

El área de definición es \( x\ne-2,-\frac{1}{2} \)

\( \left(2x+1\right)^3+\left(x+2\right)^3=4.5x\left(x+2\right)\left(2x+1\right) \)

\( \left(2x+1\right)\left(2x+1\right)^2+\left(x+2\right)\left(x+2\right)^2=4.5x(2x^2+5x+2) \)

\( \left(2x+1\right)\left(4x^2+4x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x^2+4x+4\right)=9x^3+22.5x^2+9x \)

Introducimos elementos semejantes

\( 9x^3+18x^2+18x+9=9x^3+22.5x^2+9x \)

Dividimos por: \( 9 \)

\( x^3+2x^2+2x+1=x^3+2.5x^2+x \)

\( 0.5x^2-x-1=0 \)

Dividimos por: \( 0.5 \)

\( x^2-2x-2=0 \)

\( x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot\left(-2\right)}}{2} \)

\( \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2} \)

\( \frac{2\pm\sqrt{12}}{2} \)

\( \frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3} \)

Respuesta

\( x=1±\sqrt{3} \)


Preguntas de repaso

¿Qué quiere decir que una función este bien definida?

Una función que está bien definida significa que cumple con la definición de función, esto es:

A cada elemento de un conjunto \( X \) (variable independiente) y a la cual se le denomina dominio de la función, le corresponde un único valor del conjunto \( Y \) (variable dependiente), el cual se le conoce como contradominio.


¿Qué es el dominio de una función?

El dominio en matemáticas de una función son todos aquellos valores posibles que puede tomar la variable \( X \) (variable independiente), de tal manera que la función este bien definida al tomar estos valores.


¿Qué es el rango de una función?

El rango o también llamado imagen de una función son aquellos valores que toma la variable \( Y \) (variable dependiente), los cuales dependen del conjunto de números del dominio, de aquí el nombre de variable dependiente al conjunto \( Y \).


¿Cómo se calcula el dominio de una función?

El dominio de una función depende del tipo de función que se está trabajando, ya que algunas de las funciones tienen algunas restricciones o ambigüedades para que la función exista, es decir este bien definida.

Por ejemplo: Si trabajamos con una función racional, nuestra restricción para que sea una función definida, es que el denominador no sea igual a cero. Entonces debemos de verificar para que valores de la variable independiente cumple con esta restricción.

Si trabajamos con una función radical en los números reales, entonces la restricción es que no podemos tener un número negativo adentro del radical. De igual manera debemos de observar para que valores de la variable independiente se cumple que sea positivo o igual a cero.


¿Cómo calcular el dominio de los siguientes ejemplos?

Ejemplo 1:

Consigna

Determina el dominio de la siguiente ecuación:

\( \frac{5x}{16-4x}=0 \)

Podemos observar que se trata de una función racional, entonces debemos de determinar para que valores de \( X \), nuestro denominador sea distinto de cero, para esto igualamos a cero el denominador

\( 16-4x=0 \)

Y procedemos a resolver esta ecuación:

\( -4x=-16 \)

Pasamos dividiendo el \( -4 \) de lado derecho

\( x=\frac{-16}{-4} \)

\( x=4 \)

Entonces concluimos que cuando \( x=4 \) el denominador es igual a \( 0 \), Por lo que el dominio será cualquier numero menos el \( 4 \)

Respuesta:

\( x\ne4 \)


Ejemplo 2:

Determina el dominio de la siguiente ecuación:

\( \sqrt{x+5}=0 \)

Aquí podemos ver que la ecuación es una función radical y nuestra restricción es que lo que está adentro del radical sea positivo o igual a cero, entonces veamos para que valores de \( X \) se cumple esto:

\( x+5>0 \)

Resolvemos

\( x>-5 \)

Concluimos que la si la variable toma valores igual o mayores a \( -5 \), nos dara una raíz de un numero positivo, es decir una función definida.

Respuesta:

\( x>-5 \)