Propiedades (leyes) de las raíces con variables

En este artículo aprenderás todas las reglas aplicables a ejercicios que tienen raíces con variables y el modo de hallar las condiciones de las letras (o variables) que hay en el radicando.
¿Suena complicado? ¡No te preocupes! Una simple lección, algunos ejercicios y te luces.

La propiedad general de las raíces con variables es el ámbito de definición de la raíz.

El número o la expresión matemática incluida en el radicando puede ser $0$ o mayor que $0$, pero nunca podrá ser negativo.

Es decir
$\sqrt X$
La condición: $X≥0$
$X$ debe ser mayor o igual que $0$.

Luego de haber entendido esta propiedad tan importante seguiremos con otras leyes enfatizando el tema de las variables.

Cuando haya raíz en cada producto por separado podremos descomponer los factores y aplicarles la raíz dejando el signo de multiplicar entre ellos.
Del siguiente modo:
$\sqrt{a \times b} = \sqrt a \times \sqrt b$

Como hemos visto, el número o toda la expresión del radicando debe ser mayor o igual que $0$, por lo tanto, la condición es que:

$a \times b≥0$
Observa:
Ya que la ley del producto permite la descomposición de cada factor por separado y se le puede aplicar la raíz, no alcanza que el producto de $a$ y $b$ sea mayor o igual que $0$, sino que la condición afecte tanto a $a$ como a $b$ por sí mismos.
Por consiguiente, todas las condiciones se verán del siguiente modo:

$a \times b≥0$
$a≥0$
$b≥0$

Cuando la raíz actúa sobre todo el cociente (toda la ecuación) podremos descomponer los factores y aplicarles la raíz dejando el signo de dividir (la raya fraccionaria) entre ellos.
Del siguiente modo:

$\sqrt \frac {X}{Y} = \frac{\sqrt X}{\sqrt Y}$

Nos basaremos en la ley general que dice que el número debajo de la raíz debe ser mayor o igual que $0$ y obtendremos las siguientes condiciones:
$\frac{a}{b} ≥ 0$
En base a la ley de la raíz de un cociente obtendremos:
$a≥0$
$b>0$

¡Presta atención! Ya que $b$ se encuentra en el denominador, no podrá ser $0$, por lo tanto, la condición es solo mayor que $0$.
Ahora ¡a practicar!
¿Cuál es la condición de la variable $X$?

$\sqrt \frac{X+4}{2} =$

Solución:
Acorde a la ley de la raíz de un cociente, el numerador debe ser mayor o igual que $0$ y el denominador debe ser mayor que $0$.
El denominador es $2$, un número positivo.
Ahora solo nos queda verificar que también el numerador sea mayor o igual que $0$.
Copiaremos el numerador con la condición y obtendremos:
$x+4≥0$
Transpongamos miembros y obtendremos:
$x≥-4$
Esta es la condición de la variable $X$.

¿Cuál es la condición de la variable $X$?
$\sqrt{3 \times X-2} =$
Solución:
Sabemos que el número o toda la expresión del radicando debe ser igual o mayor que $0$. Copiaremos la expresión en el radicando con la condición y obtendremos:
$3 \times X-2≥0$
Transpongamos miembros y obtendremos:
$3X≥2$
$X≥2/3$
Esta es la condición de $X$.

¿Cuál es la condición de $X$ y de $Y$?
$\sqrt \frac {2X-1}{Y+2} =$

¿Cuál es la condición de $X$ y de $Y$?
$\sqrt \frac {2X-1}{Y+2} =$

Solución:
Antes de empezar a resolver recordemos todas las condiciones que deben presentarse.
La primera ley es que el número en el radicando sea positivo o igual que $0$.
Es decir: $\sqrt \frac {2X-1}{Y+2}$
Acorde a la ley del cociente de la raíz podremos expresar el ejercicio también del siguiente modo:

$\frac {\sqrt {2X-1}}{\sqrt {Y+2}} =$
El numerador $2X-1$ se encuentra debajo de la raíz, por consiguiente, debe ser mayor o igual que $0$.
Copiaremos el numerador con la condición y obtendremos:
$2X-1≥0$
Transpongamos miembros y obtendremos:
$2X≥1$
$x≥1/2$
Esta es la condición de $X$.
Ahora pasemos al denominador
Si actuáramos de manera automática diríamos que toda la expresión en el radicando debe ser mayor o igual que $0$. ¡Pero! Los detallistas seguramente se han percatado de que ¡se trata del denominador! y, por lo tanto, no puede ser igual que $0$. Entonces, la condición será que el denominador sea mayor que $0$.
Obtendremos:
$y+2>0$
Transpongamos miembros y obtendremos:
$Y>-2$
Esta es la condición de $Y$.