Proporcionalidad

Muchos alumnos creen que la proporcionalidad es un tema súper complicado, pero, créeme que no es así, está basado totalmente en la razón o relación y en circunstancias que ya has estudiado.

Proporcionalidad es sinónimo de relación de equivalencia. En la vida diaria solemos utilizar expresiones como «tomar las cosas en forma relativa» y eso significa comparar y tomar las cosas en su debida importancia... Es decir, en la precisa relación de lo que está ocurriendo realmente, sin exagerar.

¿Cómo saber si hay proporcionalidad entre las razones?

Del mismo modo que hemos hecho en el capítulo de razones equivalentes, para averiguar si existe una relación de equivalencia (proporcionalidad entre las razones),

simplificaremos las razones.

Aplicaremos la mayor reducción posible (con el número más alto por el que podamos dividir sin resto) y veremos si llegamos a la misma razón.

Veamos un ejemplo:

Tenemos las siguientes razones. Comprueba si hay proporcionalidad entre ellas.

\( 2:3,4:8,6:9 \)

Solución:

Para ver si hay proporcionalidad entre las razones reduciremos cada una de ellas al máximo posible.

Comencemos por \( 2:3 \)

Esta razón ya está simplificada y no podemos seguir haciéndolo sin afectar su integridad. Por lo tanto, la dejaremos así.

Pasemos a \( 4:8 \)

Preguntémonos si podemos dividir ambos números de la razón por el mismo divisor y llegar a una razón reducida.

La respuesta es sí. Tanto \( 8 \) como \( 4 \) se dividen por \( 4 \) sin resto. Entonces, dividiremos ambos términos por \( 4 \) y obtendremos:

Cómo saber si hay proporcionalidad entre las razones

Ahora sabemos que \( 4:8 \) equivale a \( 1:2 \). Por lo tanto, determinaremos que no hay proporcionalidad entre \( 2:3 \) y \( 4:8 \) ya que después de simplificarlo llegamos a \( 1:2 \) y no a \( 2:3 \).

Sigamos con la tercera razón de la pregunta: \( 6:9 \)

Preguntémonos si podemos dividir ambos números de la razón por el mismo divisor y llegar a una razón reducida.

La respuesta es sí. Tanto \( 9 \) como \( 6 \) se dividen por \( 3 \) sin resto.

Entonces, dividiremos ambos términos por \( 3 \) y obtendremos:

2- Cómo saber si hay proporcionalidad entre las razones

¡Presta atención! ¡Nos dio exactamente la misma razón que obtuvimos en la primera!

Por lo tanto, podremos decir sin lugar a duda que, la razón \( 2:3 \) es proporcional a la razón \( 6:9 \).


Pasemos a un ejemplo verbal:

Se sabe que, en séptimo grado \( C \), la razón entre niños y niñas es \( 12:8 \)

En séptimo \( B \), la razón entre niños y niñas es \( 36:27 \).

¿Hay proporcionalidad en la razón entre niños y niñas en ambos grados?

Solución:

Primero corroboraremos que los parámetros realmente representan la misma razón, niños a niñas y no lo contrario.

Luego, reduciremos las razones dividiendo por el máximo común divisor y veremos si llegamos a la misma razón simplificada.

Comencemos con la razón de séptimo \( C \):

\( 12:8 \).

Nos preguntaremos ¿podemos dividir ambos términos por algún número sin que quede resto (buscaremos el máximo divisor para reducir la razón lo más posible)?

La respuesta es sí, por \( 4 \).

Dividiremos y obtendremos que la razón es proporcional a: \( 3:2 \)

Ahora sigamos con la razón de séptimo \( B \):

\( 36:27 \).

Nos preguntaremos ¿podemos dividir ambos términos por algún número sin que quede resto (buscaremos el máximo divisor para reducir la razón lo más posible)?

La respuesta es sí, por \( 9 \).

Dividiremos y obtendremos que la razón es proporcional a: \( 4:3 \).

Observa:

Siempre buscaremos el máximo divisor para llegar a la fracción más reducida posible.

¿Las razones reducidas a las que llegamos son equivalentes?

La respuesta es no, \( 3:2 \) no es igual a \( 4:3 \) y, por lo tanto, la razón entre niños y niñas en las dos clases no es proporcional.