¿Cómo calcular porcentajes?

¿Qué es el porcentaje?

El porcentaje es una manera de definir una parte, o fracción de un total.

Cuando hablamos de porcentajes, siempre debemos preguntarnos lo siguiente: "¿el porcentaje de qué?". Decir 50% sin decir el 50% de qué, no tiene sentido. Sin embargo, si decimos "el 50% de 80", es 40. En resumen, el porcentaje representa qué parte de 100 es el número en cuestión.

El Símbolo de porcentaje es %:
cuando queremos expresar que  \(a\%\)
Lo cual escribiremos así: \(a \over 100\)

Para resolver problemas de porcentajes, usaremos la siguiente fórmula:

נוסחת חישוב אחוזים

Valor del porcentaje: es el valor real que ese porcentaje representa. La cantidad inicial: es la cifra inicial antes de ser cambiada.
Porcentaje:
es el porcentaje del cambio.
Puedes usar esta fórmula para cualquier ejercicio de porcentajes, siempre y cuando, anotes los datos en forma correcta, y verifiques lo que se ha preguntado.

Si queremos saber cuánto es el porcentaje (Y) de cierto número (X), la fórmula a usar será: X/100 × Y

Si queremos saber qué porcentaje es A de B, la fórmula a utilizar es: A / B × 100

Para asimilar mejor el tema de los porcentajes, en primer lugar debes comprender el concepto que hay por detrás. Imagina que tienes un tablero de cuadrados, como en el siguiente dibujo:

לוח אחוזים

Este tablero tiene 10 columnas y 10 filas, o sea que hay un total de 100 cuadrados. El uno por ciento del tablero es tan sólo una casilla. El 5% serán cinco casillas. Y el 100% será todo el tablero.

En otras palabras, el uno por ciento es una centésima, o una centésima parte. Cuando nos dan porcentajes, siempre podemos representarlos como fracciones, donde el numerador es el porcentaje, y el denominador es 100. Esto se representa con el signo del porcentaje -%. La línea entre los dos círculos pequeños representa la línea de fracción, y los dos círculos indican los dos ceros en el número 100.

Por ejemplo:

30%, son 30 de 100. \(30 \over 100\)

דוגמת חישוב אחוזים

6% son \(6 \over 100\)

75%= 75/100

O sea que 100%, son 100 dentro 100. \(100 \over 100\)Es decir, el total entero.

El porcentaje de algo.

Otro tema que debemos entender con claridad, es el concepto del "total". Cuando hablamos de porcentajes, siempre debemos preguntarnos, "¿el porcentaje de qué?". Decir 50% sin decir 50% de qué, no tiene ningún sentido.

Veamos un ejemplo muy simple: el 50% de 100 son 50; El 50% de un millón son 500.000; 50% de 8 son 4, y así sucesivamente.

Dicho de otra manera, para resolver problemas de porcentajes, primero hay que entender cual es el total, y cual es el 100% antes de proceder a calcular el porcentaje mismo.

¿Cómo hacer para calcular porcentajes?

En primer lugar debes comprender cuál es la función de cada dato: el total y el porcentaje. Por ejemplo: una camisa que cuesta 200 pesos, será el total, mientras que el porcentaje será, digamos como ejemplo, un 25% de descuento. Sin comprender la función de cada uno de estos datos, te será muy difícil resolver este tipo de ejercicios.

Supongamos que nos preguntan cuánto debemos pagar por una camisa que cuesta 200, cuando recibimos un descuento del 25%. En este caso debemos hacer el siguiente cálculo: 25 por 200 = 5000. Este es el paso inicial para saber qué descuento recibirás. En resumen, debes realizar una operación de multiplicación entre el porcentaje (descuento) y el total (precio).

Ahora debes dividir 5000 entre 100. El resultado obtenido es 50. O sea que en este caso, un descuento del 25%, significa en realidad que el descuento a recibir son 50 pesos. ¿Cuánto te costará la camisa luego del descuento? 150 pesos. Este es un ejemplo clásico de un ejercicio en el que debes demostrar tu conocimiento sobre cómo se calculan los porcentajes.

Aquí tienes un ejercicio con su solución:

Imagina que has ganado 120 pesos en una apuesta, y que le has prometido darle a tu hermano pequeño, el 30% de lo que has ganado.
¿Qué cifra le debes dar a tu hermano?
Al número que queremos encontrar lo representaremos con la letra X.


Sabemos que X es una parte del dinero que hemos ganado en la apuesta.
Por lo tanto, podemos escribirlo de la siguiente manera:
\(x \over 100\)

¿Qué parte represnta X?
el 30%
O sea que:
\( \frac{X}{120}=30\%\)
Como ya hemos aprendido, 30% son: \(30 \over 100\)
Por lo cual se puede podemos decir que:

דוגמת חישוב אחוזים 2


\(\frac{X}{120}=\frac{30}{100} \)
Esta ecuación la podemos resolver fácilmente. Multiplicamos en forma cruzada y este es el resultado:
\(100*x=30*120\)
\(100x=3600\)
\(x=36\)

O sea que el 30% de 120, es 36.
Ten en cuenta que el valor del porcentaje representa el valor real que representa el porcentaje.
En este caso el valor del porcentaje representa el dinero que le daremos a nuestro hermano, por haberle prometido el 30%.
Es resumen, el porcentaje es 30%, y el valor del porcentaje es 36. 

Veamos otro ejemplo:

Alejandra y Natalia compraron 30 cintas para el cabello. Alejandra tomó el 10% de las cintas, y el resto, se le dio a Natalia de regalo. ¿Con cuántas se quedó Alejandra? El cálculo lo realizaremos exactamente de la misma manera:

Dado que el total es 30, y el porcentaje es 10. En primer lugar multiplicamos 10 por 30, lo cual nos da 300. Luego dividimos esta cifra entre 100, cuyo resultado es 3. Por lo tanto Alejandra se quedó con 3 cintas para el cabello, y el resto (27), se las regaló a Natalia.

De hecho, si lo planteamos como una fórmula, podemos descubrir el dato que nos falta.
La fórmula será:

Esta fórmula será utilizada en cualquier ejercicio de porcentajes.
Debes entender bien los datos que se plantean, e introducirlos con mucha atención dentro de la fórmula.
Para mostrarte varios casos en los que usarás esta fórmula (cada vez de una forma un poco diferente), te mostraremos los siguientes ejemplos:

Otro ejemplo de cómo calcular porcentajes:

Suponte que en una tienda de ropa, encuentras una camisa que quieres comprar.
La camisa cuesta 200 pesos, pero hay un 20% de descuento.

¿Cuánto costará la camisa luego del descuento?

Solución:
Miremos la fórmula que escribimos anteriormente, y coloquemos en ella los datos que ya tenemos.
Hay que tener en cuenta cuenta que si la camisa se vende con un 20% de descuento, actualmente cuesta 80%, por lo que nuestro porcentaje será 80.
El porcentaje = 80.
La cantidad inicial, es decir, el precio original es 200.
El valor porcentual es lo que nos está faltando, ya que no sabemos cuánto tendremos que pagar después del descuento. Por eso el valor porcentual será X.
Lo cual formularemos de la siguiente manera:
\(\frac{80}{100}=\frac{x}{200} \)
Multiplicamos en forma cruzada y este es el resultado:
\(100x=16000\)
\(x=160\)

Luego del descuento, el precio de la camisa es 160 pesos.

Otra forma de llegar al mismo resultado es calcular cual es el descuento.
O sea que lo primero sería revelar cuál es el monto de del descuento.
Luego, tendremos que restar este descuento del precio original, y sólo entonces llegaremos precio de la camisa después del descuento:

Porcentaje = 20
Monto inicial = 200
Lo que no sabemos es cuál será el monto del descuento (20%). Al cual llamaremos Valor porcentual. A este dato que nos falta lo llamamos x.
Lo cual se puede representar así:
\(\frac{20}{100}=\frac{x}{200} \)
Multiplicamos en forma cruzada y este es el resultado:
\(100x=4000\)
\(x=40\)

Cuyo resultado es:
 \(x=40\)
40 no es el monto que tendremos que pagar después del descuento.
40 representa el verdadero valor del 20% de 200.
Así es que 40 pesos es el descuento que al comprar la camisa.

Mira de nuevo que es lo que nos han preguntado en este ejercicio: el precio de la camisa después del descuento.
Ahora que sabemos que el descuento es de 40 pesos. Podemos calcular:

דוגמת חישוב אחוזים

Pregunta capciosa que te puede confundir:
los pantalones cortos se venden con un 40% de descuento.
Después del descuento, cuestan 300 pesos (parecen ser pantalones de lujo).
¿Cuánto costaban originalmente los pantalones, antes del descuento?
Ten en cuenta,
que tenemos el precio después del descuento y el porcentaje del descuento.
Si los pantalones se vendieron con un descuento del 40%, ahora cuesta el 60% del precio.
Podemos deducir que:
el porcentaje es igual a 60.
Sabemos que el valor del 60% de los pantalones equivale a 300 pesos, porque 300 pesos es el precio de los pantalones después del descuento.
Por lo tanto,
el valor del porcentaje es igual a 300.

Lo que nos queda por encontrar es la cantidad inicial. A La que llamaremos X.
Lo formularemos de la siguiente manera:
\(\frac{60}{100}=\frac{300}{x} \)
Multiplicamos en forma cruzada y este es el resultado:
\(60x=30000\)
\(x=500\)

Por lo tanto, 500 es el precio original del pantalón antes del descuento. (Ya Te hemos dicho que estos son pantalones de lujo).

Ejemplo de cómo encontrar el porcentaje:

Hasta ahora, conocimos el valor del porcentaje.
Ahora, queremos encontrar el porcentaje en sí mismo.
Veamos el siguiente ejemplo:

Una pulsera cuesta en principio 50 pesos.
Ahora, el precio de venta son 58 pesos.
¿Qué? ¿Ha subido el precio? ¡Sí!
¿En qué porcentaje aumentó el precio de la pulsera?
Solución:
Ten en cuenta que en este caso se da la cantidad inicial y también podemos encontrar el valor porcentual, pero el porcentaje en sí es lo que está faltando.
La cantidad inicial es 50.
Su valor actual después del aumento del precio es de 58.
El porcentaje es lo que falta (X).
Lo cual formularemos de la siguiente manera:
\(\frac{x}{100}=\frac{58}{50} \)
Multiplicamos en forma cruzada y este es el resultado:
\(50x=5800\)
\(x=116\)

De hecho, el porcentaje que recibimos es superior a 100.

¿Qué significa?
Significa que la pulsera se vende al 116% de su precio original.
La pulsera se ha encarecido, y por lo tanto ahora cuesta más de lo que costaba antes.
¿Cuánto más?
Un16%.
\(116-100=16\)

A veces, encontrarás ejercicios complejos que tienen varias etapas para se resueltos. Por ejemplo, un producto que cuesta cierto precio, y el valor ha subido un 20%.
Después de eso, se redujo en un 10% del nuevo precio.
¿Cuánto cuesta el producto actualmente?
En primer lugar, debes calcular el nuevo precio después del aumento de precio.
Solo entonces podrás calcular el nuevo precio, es decir, la reducción del 10% del nuevo precio.

Información adicional:

Si tomamos un número cualquiera, lo aumentamos en un cierto porcentaje, y luego, al número que nos da le restamos ese mismo porcentaje, ¡obtenemos un número menor que el número inicial!
Y también, ten en cuenta lo siguiente:
X% de Y
es exactamente igual a
Y% de X.

¡El secreto del éxito en este tipo de ejercicio es la práctica!
Practica todo el tema de porcentajes usando las fórmula indicadas, y trata de resolver todo tipo de ejercicios.
De esta forma sabrás cómo utilizar las fórmulas de manera eficaz, y obtendrás las respuestas correctas.

Ejemplo 1: 

¿Cuánto es ¼ de 20?

Solución:

Cuando se nos pide que encontremos una parte (¼) de un número entero (20), debemos multiplicar la parte (en este caso ¼), por el número entero.

Por lo tanto: ¼ *20= 20/4= 5 

Ejemplo 2:

El precio de una camisa era de 40 pesos, y ahora que hay rebajas; su precio ha bajado un 20%.

Se nos pide que calculemos el precio de la camisa, después de la rebaja del 20%.

Solución: 

Después de la rebaja del precio, la camisa cuesta el 80% (del precio original). 

El 80% son en realidad 80/100 = 8/10 = 0.8 

Para calcular el 80% de 40 realizaremos una simple multiplicación: 40 * 0.8 = 32

Por lo tanto, el precio de la camisa luego de la rebaja del precio, es de 32 pesos. 

Aquí tienes mas ejemplos: 

Otra pregunta:

Luis le compró a Juana, un regalo para las fiestas de fin de año. Cuando Juana le preguntó cuánto le costó el regalo, Luis le respondió que su verdadero valor es de 400 pesos, pero que tuvo un 30% de descuento. ¿Cuánto pagó Luis por el regalo?

Este es el cálculo:

30x400=12000

12000\100=120

El descuento que recibió Luis en la compra del regalo, fue de 120 pesos. Este es el cálculo completo: 400 - 120 = 280, por lo que pagó 280 pesos por el regalo.

Otra pregunta:

Ana y María compraron 50 galletas. Ana se comió el 20% de las galletas y María se comió el resto. ¿Cuántas galletas se comió María?

Este es el cálculo:

El número total de galletas es 50, y Ana se comió el 20% de ellas. Por tanto, realizaremos la siguiente multiplicación: 20x50 = 1000

El número que obtuvimos fue 1000, dividido por 100 = 10. Entonces, Ana se comió 10 galletas.

El cálculo completo es: 50-10 = 40. Por lo tanto, María se comió 40 galletas. 

Otra pregunta:

¿Cuánto es el 40% de 500?

Esta es una pregunta que está formulada de una manera diferente en comparación a las preguntas anteriores. Por lo tanto, tendremos que usar una fórmula de cálculo diferente. En este caso, debes dividir el número entero por 100 y luego multiplicar por el porcentaje. Por ejemplo: 

500/100=5

5x40=200

La respuesta es: el 40% de 500 son 200.