Criterios de semejanza de triángulos

🏆Ejercicios de teoremas de semejanza

Las condiciones para la semejanza entre dos triángulos

Para demostrar la semejanza entre triángulos no es necesario volver a mostrar, una y otra vez, la relación entre los tres pares de lados y la equivalencia entre todos los ángulos correspondientes. Esto requeriría demasiado trabajo innecesario.

Hay tres criterios con los cuales podremos ver la semejanza entre los triángulos:

3 Criterios de semejanza de triángulos
  • Ángulo - Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
  • Lado - Ángulo - Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si la proporción entre dos pares de lados y también el ángulo que forman son iguales.
  • Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si la proporción entre todos sus lados (razón de semejanza) es igual en ambos triángulos.
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Dado:

Ángulo B es igual a 60°

Ángulo C es igual a 55°

Ángulo E es igual a 60°

Ángulo F es igual a 50°

¿Estos triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Quiz y otros ejercicios

Para demostrar la semejanza entre triángulos no es necesario volver a mostrar, una y otra vez, la relación entre los tres pares de lados y la equivalencia entre todos los ángulos correspondientes. Esto requeriría demasiado trabajo innecesario.

Hay tres criterios con los cuales podremos ver la semejanza entre los triángulos:


Criterio de semejanza 1 - Ángulo - Ángulo (AA)

Definición: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.


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Ejemplo 1

Dados los dos triángulos:

ΔABCΔ ABC
ΔDEFΔ DEF

Imagen dados los dos triángulos

Así mismo sabemos que 

A=D∢A=∢D
B=D∢B=∢D

Demuestra que los dos triángulos son semejantes.

La demostración es inmediata. Nos basaremos en el criterio que acabamos de aprender. Observemos que se nos han dado dos ángulos respectivamente iguales en los dos triángulos. Lo anotaremos del siguiente modo:

A=D∢A=∢D (ángulo)
B=E∢B=∢E (ángulo)

De esto se desprende que: 
ΔABCΔ ABC ~ ΔDEFΔ DEF (Acorde al criterio de semejanza Ángulo - Ángulo). QED.

Observemos que, si en dos triángulos hay equivalencia entre dos pares de ángulos correspondientes, necesariamente habrá equivalencia entre el tercer par, ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es180° 180° . Ésta es la explicación del primer criterio de semejanza: Ángulo - Ángulo.


Criterio de semejanza 2 - Lado, Ángulo, Lado (LAL)

Definición: Lado - Ángulo - Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si la proporción entre dos pares de lados y también el ángulo que forman son iguales.

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejemplo 2

Dados los dos triángulos
ΔABCΔ ABC
ΔDEFΔ DEF

Ejemplo 2  Dados los dos triángulos

Así mismo sabemos que:
BC=4BC = 4
CA=6CA = 6
EF=2EF = 2
FD=3FD = 3
F=C∢F=∢C

Demuestra que los triángulos son semejantes y calcula la razón de semejanza.

Demostración:
Nos basaremos en el segundo criterio de semejanza que recién aprendimos: Lado - Ángulo - Lado.

Prestemos atención a la relación entre la longitud de los lados:
FDCA=36=12\frac{FD}{CA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

EFBC=24=12\frac{EF}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Es decir, vemos que la relación entre dos pares de lados es igual.
También el dato
F=C∢F=∢C

O sea, los ángulos conformados entre los dos pares de lados son iguales.
De lo anterior podremos deducir que

ΔABCΔ ABC ~ ΔDEFΔ DEF  (Acorde al criterio de semejanza Lado - Ángulo - Lado). 

La razón de semejanza es 1:2 1:2

QED.


Criterio de semejanza 3 - Lado, Lado, Lado (LLL)

Lado - Lado - Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si la proporción entre todos sus lados (razón de semejanza) es igual en ambos triángulos.
Dados los dos triángulos:
ΔABCΔ ABC
ΔDEFΔ DEF

Así mismo sabemos que:
DE=2DE = 2
EF=3EF = 3
FD=5FD = 5
AB=3AB = 3
BC=4.5BC = 4.5
AC=7.5AC = 7.5

Todos los datos aparecen en la ilustración:

dos triangulos con todos los datos aparecen en la ilustración

Demuestra que los dos triángulos son semejantes.

Demostración: Nos basaremos en el criterio de semejanza que acabamos de aprender, Lado, Lado, Lado. 

Veremos que se cumple lo siguiente

FDCA=57.5=23\frac{FD}{CA}=\frac{5}{7.5}=\frac{2}{3}

DEAB=23\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}

EFBC=34.5=23 \frac{EF}{BC}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}

Es decir que la proporción entre los tres lados de un triángulo y los tres lados del otro es igual.

Por consiguiente, podremos deducir que  ΔABCΔ ABC ~ ΔDEF Δ DEF  (Acorde al criterio de semejanza Lado - Lado - Lado). 

La razón de semejanza es la relación que vimos, o sea, 2:3 2:3

QED


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Ejemplos y ejercicios con soluciones de criterios de semejanza de triángulos

Ejercicio #1

Dado:

Ángulo B es igual a 40°

Ángulo C es igual a 60°

Ángulo E es igual a 40°

Ángulo F es igual a 60°

¿Los triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

Dado que los datos muestran que hay dos pares de ángulos iguales:

B=E=40 B=E=40

C=F=60 C=F=60

Basta demostrar que los triángulos son semejantes mediante el teorema del ángulo - ángulo.

Por lo tanto, el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF

Respuesta

Si

Ejercicio #2

Dado:

El ángulo B es igual a 70 grados

El ángulo C es igual a 35 grados

El ángulo E es igual a 70 grados

El ángulo F es igual a 35 grados

¿Los triángulos son semejantes?

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Solución en video

Solución Paso a Paso

De hecho, los triángulos son semejantes según el teorema ángulo-ángulo.

Dos pares de ángulos iguales son suficientes para afirmar que los triángulos son semejantes.

Respuesta

Si

Ejercicio #3

Dados los dos siguientes triángulos:

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Dado que el ángulo B es igual al ángulo F

Ángulo C es igual al ángulo D

¿Qué ángulo corresponde al ángulo A?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Usamos el teorema ángulo-ángulo para simular triángulos.

Observemos los datos que ya tenemos:

Dado que los ángulos B y F son iguales

El ángulo C es igual al D

Por lo tanto lo que queda: los ángulos A y E son iguales.

Respuesta

E E

Ejercicio #4

Dados los dos triángulos siguientes

AAABBBCCCDDDEEEFFF

Dado que el ángulo B es igual al ángulo E

El ángulo A es igual al ángulo D

¿Qué ángulo corresponde al ángulo C?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Como tenemos dos pares de ángulos correspondientes, usaremos el teorema ángulo-ángulo para semejanza de triángulos.

Ahora que sabemos que todos los ángulos son iguales entre sí, notaremos que el ángulo que nos queda que es igual y corresponde al ángulo C es el ángulo F.

Respuesta

F F

Ejercicio #5

Dados los dos siguientes triángulos

AAABBBCCCDDDEEEFFFDado que los ángulos B y D son iguales.

El ángulo A es igual al F

¿Qué lado corresponde al lado AB?

Solución en video

Solución Paso a Paso

Como tenemos dos ángulos iguales, usaremos el teorema ángulo-ángulo para simular triángulos.

Compararemos los vérticesA=F,B=D A=F,B=D

Según los datos parece que:

El lado AC corresponde al lado EF

El lado BC corresponde al lado DE

Por lo tanto el lado AB corresponde al lado FD

Respuesta

FD FD

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