Criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado

Existen 4 criterios para determinar que dos triángulos son congruentes. En este artículo aprenderemos a utilizar el tercer criterio de congruencia:

Lado, Lado, Lado

Definición: 2 triángulos en los que sus tres lados son de la misma longitud son triángulos congruentes.

En este artículo estudiaremos este criterio y veremos ejemplos de cómo aplicarlo.

imagen 3 Lado_Lado_Lado

Definición:

2 triángulos en los que sus tres lados son de la misma longitud son triángulos congruentes.

Para demostrar que 2 triángulos son congruentes podemos utilizar uno de los siguientes postulados:


Ejemplo 1

Dados los triángulos ΔABCΔ ABC y ΔDEFΔ DEF  de modo que

AB=DEAB = DE (arista)

BC=EFBC = EF (arista)

AC=DFAC = DF  (arista)

Lado, Lado, Lado

Por consiguiente, deduciremos que: ΔABCΔ ABC  y ΔDEFΔ DEF son triángulos congruentes según el criterio de congruencia de Lado, Lado, Lado.

Lo escribiremos del siguiente modo:

ΔDEFΔABCΔ DEF ≅ Δ ABC  según el criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado (LLL)

De lo anterior también deduciremos que:

A=D∠A = ∠D
B=E∠B = ∠E
C=F∠C = ∠F

ya que éstos son ángulos correspondientes e iguales en triángulos congruentes


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Ejemplo 2: Ejercicio con congruencia de triángulos

Dados los dos triángulos ΔABCΔ ABC  y ΔACDΔ ACD  de modo que ACAC es el lado en común.

Dados los dos triángulos 2

Así mismo se nos informa que:

AB=DAAB=DA

DC=CBDC=CB

Demuestra que los triángulos ΔABC ΔABC y ΔACD ΔACD son triángulos congruentes.

Demostración:

Nos basaremos en el criterio recién aprendido.

Veamos

AC=DC AC=DC (arista)

AB=DB AB=DB (arista)

Nos percataremos de que ACAC (arista) es común a ambos triángulos

De esto se desprende que en los dos triángulos ΔABCΔ ABC  y ΔADCΔ ADC  hay tres pares de lados iguales.

Por consiguiente, podremos deducir que

ΔADCΔABCΔ ADC ≅ Δ ABC según el criterio de congruencia Lado, Lado, Lado.

QED QED


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Ejercicios de criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado

Ejercicio 1

Consigna

En la figura dada:

EC=EB EC=EB

AC=AB AC=AB

¿Según qué teorema se superponen los triángulos ΔABEΔACE ΔABE≅ΔACE ?

En la figura dada EC=EB AC=AB

Solución

Dado que EC=EB EC=EB

Dado que AC=AB AC=AB

Lado común AE=AE AE=AE

Los triángulos congruentes según L.L.L L.L.L

Respuesta

Superpuestos L.L.L L.L.L


Ejercicio 2

Consigna

En un triángulo isósceles ABC \triangle ABC trazamos la altura AK AK .

¿De acuerdo con qué teorema de congruencia se superponen los triángulos ΔABKΔACK ΔABK≅ΔACK ?

En un triángulo isósceles ABC trazamos la altura AK

Solución

AB=AC AB=AC

Dado que el triángulo ABC ABC es isósceles

BK=KC BK=KC

En un triángulo isósceles, la altura es también una mediana y una mediana corta la base en dos.

AK=AK AK=AK

Lado común

Los triángulos superpuestos según L.L.L L.L.L

Respuesta

Superpuestos según L.L.L L.L.L


Ejercicio 3

Consigna

Los segmentos BE BE y AC AC se cruzan en el punto D D .

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos ΔABDΔCED ΔABD≅ΔCED ?

Los segmentos BE  y AC se cruzan en el punto D

Solución

BE BE y AC AC

Se cruzan en un punto D D

AD=DC AD=DC

D D intersecta BE BE

ADB=EDC \sphericalangle ADB=\sphericalangle EDC

Ángulos opuestos por el vértice

Triángulos superpuestos según L.A.L L.A.L

Respuesta

superpuestos L.A.L L.A.L


Ejercicio 4

Consigna

Los triángulos ΔABCΔEFG ΔABC≅ΔEFG

En el triángulo ΔABC ΔABC trazamos la mediana AD AD

y en el triángulo ΔEFG ΔEFG trazamos la mediana EH EH .

Demostramos: ΔADBΔEHF ΔADB≅ΔEHF

Los triángulos ΔABC≅ΔEFG

Solución

AB=EF AB=EF

Dado que los triángulos ΔABC ΔABC y ΔEFG ΔEFG son congruentes

AD=EH AD=EH

En triángulos congruentes las medianas son necesariamente iguales

(saliendo del mismo punto a la misma base)

BD=FH BD=FH

La mediana cruza la base a la que llega.

Los triángulos congruentes según L.L.L L.L.L

Respuesta

Superpuestos según L.L.L L.L.L


Ejercicio 5

Consigna

Dado el trapecio isósceles ABCD ABCD .

En su interior contiene el cuadrado ABFE ABFE .

¿Según qué teorema coinciden los triángulos ΔADEΔBCF ΔADE≅ΔBCF ?

Dado el trapecio isósceles ABCD . En su interior contiene el cuadrado ABEF

Solución

ABCD ABCD es un trapecio isósceles (dado)

AD=BC AD=BC

Trapecio isósceles

Dado que ABFE ABFE es un cuadrado

AE=BF AE=BF

Dado que ABFE ABFE es un cuadrado y todos los lados en un cuadrado son iguales

D=C \sphericalangle D=\sphericalangle C

Los ángulos de la base en un trapecio isósceles son iguales

AED=BFC=90° \sphericalangle AED=\sphericalangle BFC=90°

En un cuadrado todos los ángulos son rectos y miden 90° 90° grados

DAE=FBC \sphericalangle DAE=\sphericalangle FBC

si dos ángulos son iguales entonces el tercero también es igual

Los triángulos superpuestos según L.A.L L.A.L

Respuesta

L.A.L L.A.L


Preguntas de repaso

¿Qué es el criterio de congruencia de dos triángulos?

Son cuatro los criterios de congruencia de triángulos, estos nos permiten saber si dos triángulos tienen las mismas dimensiones en sus lados y de igual manera la misma longitud de sus ángulos correspondientes, de esta forma podemos decir que los dos triángulos, aun cuando se encuentren en diferente posición u orientación, tendrán la misma forma y medida.


¿Qué es el criterio de congruencia LLL?

Este criterio nos permite deducir si dos triángulos tienen la misma forma y medida, de acuerdo a este criterio dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados son iguales.


¿Qué diferencia hay entre el criterio de congruencia LLL y el de semejanza LLL?

El criterio de congruencia por LLL, nos dice que si dos triángulos tienen sus tres lados iguales (Lados congruentes), entonces los dos triángulos son iguales, es decir tienen la misma medida en cuanto a lados y ángulos. Mientras que el de semejanza LLL, nos dice que si dos triángulos son semejantes, entonces sus tres lados son proporcionales, es decir, no tienen la misma medida pero si tienen alguna proporción entre ellos y tienen la misma forma, pero con diferentes medidas en cuanto a sus lados.


¿Qué par de triángulos son semejantes por el criterio LLL?

Dos triángulos van a hacer semejantes cuando tienen la misma forma, sin importar la orientación, es decir, sus ángulos correspondientes miden lo mismo pero sus lados correspondientes no necesariamente miden lo mismo, sino que deben de tener una proporción entre ellos.


¿Cuáles son los criterios de semejanza y congruencia de triángulos?

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia de triángulos son cuatro:

  • LAL- Lado, Ángulo, Lado.
  • ALA- Ángulo, Lado, Ángulo.
  • LLL- Lado, Lado, Lado.
  • LLA- Lado, Lado, Ángulo.

Criterios de semejanza

A diferencia de los criterios de congruencia, los criterios de semejanza de triángulos solo son tres:

  • LLL- Lado, Lado, Lado.
  • LAL- Lado, Ángulo, Lado.
  • AAA- Ángulo, Ángulo, Ángulo.