La propiedad distributiva para alumnos de 1.º de ESO

Al resolver ejercicios algebraicos, podemos ayudarnos de algunas reglas aritméticas muy útiles. Entre ellas se encuentran, entre otras, la propiedad distributiva, la asociativa y la conmutativa. Estas reglas se aprenden a lo largo de la etapa educativa con distinto grado de complejidad dependiendo del nivel exigido en cada curso. En este artículo nos centraremos en la propiedad distributiva según las exigencias del currículo de 1.º de ESO, estudiaremos qué es y también trataremos brevemente la propiedad asociativa y la conmutativa.

La propiedad distributiva nos ayuda a resolver ejercicios de multiplicación, en los cuales, los factores se descomponen en sumas y restas. También podemos utilizar dicha propiedad en ejercicios de división, descomponiendo el dividendo (o numerador) en sumas o restas. Gracias a esto podemos trabajar con números más pequeños y así simplificar la operación.

Veamos algunos ejemplos:

• $6 \times 26 = 6 \times (20 + 6) = 120 + 36 = 156$
• $7 \times 32 = 7 \times (30 + 2) = 210 + 14 = 224$
• $104:4 = (100+4):4 = 100:4 + 4:4 = 25+1 = 26$

Si nos fijamos en los ejercicios de ejemplo, veremos que de hecho hemos descompuesto el número más grande en varios más pequeños cuando la operación es una multiplicación, y hemos descompuesto el numerador cuando la operación es una división. Por un lado, su valor no se ha alterado matemáticamente, pero, por otro, nos ha permitido simplificar el ejercicio a la hora de calcularlo.

Si quisiéramos expresar la propiedad distributiva de manera general, obtendríamos lo siguiente:

$Z \times (X + Y) = ZX + ZY$

$Z \times (X - Y) = ZX - ZY$

La propiedad distributiva compuesta es aquella en la cual ambos factores están expresados como sumas y restas.

Veamos algunos ejemplos:

• $(X + 2) \times (X + 3) =$
  $X² + 3X + 2X + 6 = X² + 5X + 6$
   
• $(X - 4) \times (X - 3) =$
  $X² - 3X - 4X + 12 = X² - 7X + 12$

Ahora explicaremos las operaciones realizadas en cada uno de los ejemplos: Primero multiplicamos el primer miembro del primer paréntesis por el primer miembro del segundo paréntesis. Después multiplicamos el primer miembro del primer paréntesis por el segundo miembro del segundo paréntesis. A continuación, pasamos al segundo miembro del primer paréntesis y lo multiplicamos por el primer miembro del segundo paréntesis y después por el segundo miembro del segundo paréntesis. Debemos tener en cuenta los símbolos de suma y resta que preceden a cada número y realizar cada multiplicación utilizando la ley de los signos.

Si queremos expresar la ley de propiedad distributiva de una manera más general, obtenemos:

$(Z + T) \times (X + Y) = ZX + ZY + TX + TY$

$(Z - T) \times (X - Y) = ZX - ZY - TX + TY$

El primer acercamiento que los estudiantes tienen con la propiedad distributiva se presenta únicamente con números (sin variables de cualquier tipo). Su propósito es enseñarles el concepto de la descomposición de un número en varios mediante la suma o resta para simplificar el cálculo, especialmente cuando el ejercicio encierra números grandes.

Por ejemplo: 

$3\times 102=3\times(100+2)=300+6=306$

$7\times 96=7\times(100-4)=700-28=672$

En primaria, los alumnos ya dominan sumas y restas largas, pero aún no tienen tanta destreza al multiplicar números grandes y la propiedad distributiva les permite resolver estos problemas mediante multiplicaciones más sencillas.

En 1.º de ESO, la propiedad distributiva sube un nivel y empieza a combinar no solo números, sino también ecuaciones y variables. En este grado, los alumnos toman contacto con el términovariante, así como con las potencias de segundo grado o superiores. 

Por ejemplo: 

• $(X + 5) \times (X + 6) =$
  $X² + 6X + 5X+ 30 = X² + 11X + 30$
   
• $(X- 7) \times (X- 8) =$
  $X² - 8X - 7X + 56 = X² - 15X + 56$

Como ya hemos dicho, existen otras reglas que nos ayudan a simplificar los ejercicios algebraicos. En este apartado veremos brevemente dos de ellas: la propiedad asociativa y la divisibilidad.

La propiedad asociativa nos permite resolver ejercicios de suma o multiplicaciones en donde aparecen tres elementos o más.

Veamos algunos ejemplos fáciles en los que aplicamos la propiedad asociativa: 

• $(10 + 2) + 8 =$
  $10 + (2 + 8) = 10 + 2 + 8 = 20$
   
• $2 \times (3 \times 6) =$
  $(2 \times 3) \times 6 = 2 \times 3 \times 6 = 36$

Para ampliar conocimientos sobre la propiedad asociativa, puedes leer el artículo específico al respecto: La Propiedad Asociativa.

Al igual que la propiedad asociativa, la propiedad conmutativa solo puede aplicarse en ejercicios que contienen sumas y multiplicaciones. Gracias a esta propiedad, conmutamos el orden de las operaciones de multiplicación y suma, algo que no afecta en absoluto al resultado final.

Veamos algunos ejemplos: 

• $2 + 6 = 6 + 2 = 8$
• $3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$
• Para ampliar conocimientos sobre la propiedad asociativa, puedes leer el artículo específico al respecto: " La Propiedad Conmutativa".

Ejercicio 1:

Aplica la propiedad distributiva y resuelve estos cinco problemas: 

• $294:3=$
• $105\times 4=$
• $505:5=$
• $207\times 5=$
• $168:8=$

Soluciones:

• $294:3=(300-6):3=300:3-6:3=100-2=98$
• $105\times 4=(100+5)\times 4=100\times 4+5\times 4=400+20=420$
• $505:5=(500+5):5=500:5+5:5=100+1=101$
• $207\times 5=(200+7)\times 5=200\times 5+7\times 5=1000+35=1035$
• $168:8=(160+8):8=160:8+8:8=20+1=21$

Ejercicio 2: 

Se ha dividido a 351 alumnos de un instituto en nueve grupos iguales.  

¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución: 

Comenzamos expresando numéricamente el problema:

$351:9=(360-9):9=360:9-9:9=40-1=39$

Respuesta:

En cada grupo hay 39 alumnos. 

Ejercicio 3:

Dani compró 15 cajas. En cada una había 9 caramelos.

¿Cuántos caramelos en total compró Dani?

Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución: 

Comenzamos expresando numéricamente el problema:

$15\times9=(10+5)\times9=10\times9+5\times9=90+45=135$

Respuesta:

Dani compró 135 caramelos.

Ejercicio 4:

Isabel ha empaquetado 246 cuadernos en 6 paquetes iguales. 

¿Cuántos cuadernos ha puesto Isabel en cada paquete?

Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución: 

Comenzamos expresando numéricamente el problema:

$246:6=(240+6):6=240:6+6:6=40+1=41$

Respuesta:

Isabel ha puesto 41 cuadernos en cada paquete.

Ejercicio 5:

Mi madre tenía 894 euros. Repartió el dinero de manera equitativa entre sus tres hijos.  

¿Cuánto dinero recibió cada hijo?

Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución: 

Comenzamos expresando numéricamente el problema:

$894:3=(900-6):3=900:3-6:3=300-2=298$

Respuesta:

Cada hijo recibió 298 euros. 

Ejercicio 6:

Tarea:

Resolver el siguiente ejercicio

$93:3=\text{?}$

Solución:

Distribuimos el número 93 en 4 partes para facilitarnos su división por 3.

Por ejemplo $30:3=10$

$93:3=\text{?}$

$(30+30+30+3):3=$

$+30:3=10$

$+30:3=10$

$+30:3=10$

$+3:3=1$

$93:3=31$

Por ejemplo $30:3=10$

Después sumaremos los resultados y obtendremos que:

$93:3=31$

Respuesta:

$31$

Ejercicio 7:

Tarea:

Resolver el siguiente ejercicio

$=90:5$

Solución:

Distribuimos el número 90 en 3 factores

(50,20,20)

$90=5-+20+20$

Luego dividimos cada uno de ellos por 5 y sumamos los tres resultados.

$+50:5=10$

$+20:5=4$

$+20:5=4$

Así obtenemos que: $90:5=1-+4+4=18$

Respuesta:

Ejercicio 8:

Tarea:

Resolver el ejercicio

$=72:18$

Solución:

Distribuimos el número 72 en dos números $\left(36+36\right)$ y después dividimos cada uno de ellos en 18.

$72:18=$

$(36+36):18=$

$+36:18=2$

$+36:18=2$

$72:18=4$

$4$

Respuesta:

$4$

Ejercicio 9:

Tarea:

$\left(40+70+35−7\right)×9=$

Solución:

$\left(40+70+35−7\right)×9=$

$40\times9+70\times9+35\times9-7\times9=$

$=360+630+(30+5)9-63$

$=360+630+270+45-63=1242$

Respuesta:

$1242$

Ejercicio 10:

Tarea:

$\left(35+4\right)×\left(10+5\right)=$

Solución:

$(35+4)(10+5)=35\times10+35\times5+4\times10+4\times5$

$=350+175+40+20=585$

Respuesta:

$585$

Ejercicio 5:

Tarea:

$\left(7x+3\right)×\left(10+4\right)=$

Solución:

$(7X+3)(10+4)=7X\times10+7X\times4+3\times10+3\times4$

$=70X+28X+30+12=98X+42=238$,$-42$

$98X=196$,$:98$

$X=\frac{196}{98}=2$

Respuesta:

$2$

• $187\times (8-5)=$
• ${2\over3}\times (12+0-5)=$
• $5\times (2{1\over2}+1{1\over6}+{3\over4})=$
• $(10+5+18)\times 4=$
• $(5.5-0.8)\times 5=$
• $340:(12-7)=$
• $(29-4):5=$
• ${5\over1}:(6+1-5)=$
• $18:(5+7+4)=$
• $({1\over7}-{1\over3}):4=$
• $97\times 12=$
• $3\times 36=$
• $120:97=$
• $8:{1\over2}=$
• $151\times 23=$

¿Cuál es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva relaciona las operaciones de suma y resta con la multiplicación. Como su nombre lo indica se distribuye la multiplicación entre cada elemento que conforma cada uno de los factores.

¿Cómo se utiliza la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva se puede utilizar en ejercicio de multiplicación en la que uno de los factores es un número grande. Utilizando la suma y resta se descompone el número en otros más pequeños y se procede a distribuir la multiplicación.

Ejemplo

• $20 \times 8\times 7=20+8\times 7=20\times 7+8\times 7=140+56=196$

¿Cómo utilizar la propiedad distributiva en la división?

Para utilizar la propiedad distributiva cuando hay división, procedemos a descomponer el dividendo (o denominador) en números más pequeños utilizando las operaciones de suma y resta. Posteriormente se distribuye la división,

Ejemplo

• $150:6=120+30:6=120:6+30:6=20+5=25$

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