Propiedad distributiva

La propiedad distributiva es una herramienta que nos ayuda a simplificar ejercicios complejos descomponiendo los números a términos más pequeños.

Propiedad distributiva en la práctica

Antes de todo, hay que saber que podemos utilizar la propiedad distributiva casi a cualquier edad. Desde simples cuentas de sumar del primer curso escolar, a través del uso de la propiedad distributiva en ejercicios de multiplicar y dividir en cuarto, sabiendo ya las tablas de multiplicar, hasta la descomposición y la simplificación de ejercicios algebraicos en los estudios secundarios. La propiedad distributiva es una parte fundamental de los temas matemáticos que estudiamos y es muy importante conocerla. Entonces ¿Cómo se utiliza la propiedad distributiva? Es muy simple.

Propiedad distributiva de la multiplicación

Supongamos que tienes un ejercicio de multiplicar con números demasiado altos.

Por ejemplo: \( 532\times8 \)

Gracias a la propiedad distributiva podremos descomponerlo en ejercicios más simples.

\( 8\times 532=8\times\left(500+30+2\right) \)

\( 8\times 500=4000 \)

\( + \)

\( 8\times 30=240 \)

\( + \)

\( 8\times2=16 \)

\( = \)

\( 4000+240+16=4256 \)


La propiedad distributiva de la división

Con los ejercicios de dividir la idea es similar, podemos utilizar la propiedad distributiva de un modo muy sencillo. Supongamos que nuestro ejercicio es así: 76:4

Todo lo que tenemos que hacer para simplificar el asunto es tomar el primer número y «acercarlo» al número entero más cercano (más grande) que sea múltiplo del segundo número, o sea, en nuestro ejemplo, el mayor número entero más cercano a 76 múltiplo de 4 es 80. Entonces

\( 76:4=\left(80-4\right):4 \)

\( = \)

\( 80:4-4:4 \)

\( = \)

\( 20-1=19 \)

Es decir 

\( 76:4=19 \)


La propiedad distributiva extendida

En las primeras clases del cole sólo descomponemos ejercicios compuestos, generalmente, por un solo par de paréntesis. Después de sexto grado estudiamos la propiedad distributiva extendida con la que descomponemos ejercicios que tienen más de un par de paréntesis.

Por ejemplo, en el ejercicio

\( \left(7+2\right)\times\left(5+8\right) \)

Utilizaremos la propiedad distributiva extendida para simplificar el ejercicio del siguiente modo

Se multiplica cada uno de los términos comprendidos en el primer par de paréntesis por cada uno de los términos del segundo, entonces:

\( \left(5+8\right)\times\left(7+2\right) \)

\( = \)

\( 5\times7+5\times2+8\times7+8\times2 \)

\( = \)

\( 35+10+56+16 \)

\( = \)

\( 117 \)


La propiedad distributiva extendida en ecuaciones con incógnitas

Del mismo modo, utilizamos la propiedad distributiva extendida para resolver ecuaciones con incógnitas, por ejemplo:

\( \left(X+2\right)\cdot\left(3X-5\right) \)

\( = \)

\( \left(X\cdot3X\right)+\left(X\cdot-5\right)+\left(2\cdot3X\right)+\left(2\cdot-5\right) \)

\( = \)

\( 3X²-5X+6X-10 \)

\( = \)

\( 3X²+X-10 \)


Ejercicios con soluciones y explicaciones sobre Propiedad distributiva

Ejercicio 1:

Tarea:

Resolver el ejercicio

\( ?=84:4 \)

Solución:

Distribuimos el número 84 en varios números.

Nosotros siempre recomendamos en la cantidad que sea más fácil y luego dividirlo por 4.

Por lo tanto, en este caso decidimos distribuirlo en:

\( 40+40+4=84 \)

\( 84:4=\text{?} \)

\( (40+40+4):4=\text{?} \)

\( +40:4=10 \)

\( +40:4=10 \)

\( +4:4=1 \)

Por lo tanto: \( 84:4=21 \)

Respuesta:

\( 21 \)


Ejercicio 2:

Tarea:

Resolver el ejercicio

\( 72:6=\text{?} \)

Solución:

Distribuimos el número 72 en dos factores.

Sumamos los números para que sea más fácil dividirlo por 6.

\( 60+12=72 \)

\( 72:6=\text{?} \)

\( (60+12):6= \)

\( +60:6=10 \)

\( +12:6=2 \)

\( 72:6= \)

Respuesta:

\( 12 \)


Ejercicio 3:

Tarea:

Resolver el ejercicio

\( ?=65:13 \)

Solución:

Distribuimos a 65 en 3 números: \( 26+26+13=65 \)

Luego dividimos cada uno de ellos por 13:

\( 65:13=\text{?} \)

\( (26+26+13):13=\text{?} \)

\( +26:13=2 \)

\( +26:13=2 \)

\( +13:13=1 \)

\( (2+2+1)=5 \)

\( 65:13=5 \)

Respuesta:

\( 5 \)


Ejercicio 4:

\( 742:4= \)

Solución:

\( 742:4=(700+40+2):4 \)

\( =(400+200+100+40+2):4 \)

\(=\frac{400}{4}+\frac{200}{4}+\frac{100}{4}+\frac{40}{4}+\frac{2}{4}= \)

\( =100+50+25+10+\frac{1}{2}=185\frac{1}{2} \)

Respuesta:

\( 185\frac{1}{2} \)


Ejercicio 5:

\( (3+20)\times(12+4)=\text{?} \)

Solución:

\((3+20)\times(12+4)=3\times2+3\times4+20\times12+20\times4 \)

\( =36+12+240+80=48+320=368 \)

Respuesta:

\( 368 \)


Ejercicio 6:

\( (7+2+3)(7+6)(12-3-4)=\text{?} \)

Solución:

\( (7+2+3)(7+6)(12-3-4)=\text{?} \)

\((7+2+3)\times13\times5=12\times13\times5=12\times5\times13 \)

\( =60\times13=780 \)

Respuesta:

\( 780 \)