Propiedad distributiva

La propiedad distributiva es una herramienta que nos ayuda a simplificar ejercicios complejos descomponiendo los números a términos más pequeños.

¿Qué es la propiedad distributiva?

Como su nombre lo delata, la propiedad distributiva nos permite distribuir, es decir, repartir cierto número entre dos o más números y, de este modo, convierte una multiplicación en un ejercicio que, además de la multiplicación, también incluye sumas (o restas). Esto nos permite trabajar con números más pequeños, simplificando así la operación.

Aplicando la propiedad distributiva, podremos descomponer un número en varios otros colocando entre ellos sumas o restas y así conseguir un ejercicio que nos resulte más fácil de resolver sin modificar su valor matemático.

Generalmente, durante los primeros años de la escuela primaria sólo descomponemos ejercicios con un solo par de paréntesis. Después de sexto grado estudiamos la propiedad distributiva extendida. La propiedad distributiva extendida implica la multiplicación de dos expresiones colocadas entre paréntesis, una por la otra, a diferencia de la propiedad distributiva común que comprende la multiplicación de un número incluido en la expresión escrita entre paréntesis.

Si queremos expresar la propiedad distributiva de un modo más general, obtendremos:

$Z \cdot (X + Y) = ZX + ZY$

$Z \cdot (X - Y) = ZX - ZY$

Antes de todo, hay que saber que podemos utilizar la propiedad distributiva casi a cualquier edad. Desde simples cuentas de sumar del primer curso escolar, a través del uso de la propiedad distributiva en ejercicios de multiplicar y dividir en cuarto, sabiendo ya las tablas de multiplicar, hasta la descomposición y la simplificación de ejercicios algebraicos en los estudios secundarios. La propiedad distributiva es una parte fundamental de los temas matemáticos que estudiamos y es muy importante conocerla. Entonces ¿Cómo se utiliza la propiedad distributiva? Es muy simple.

Supongamos que tienes un ejercicio de multiplicar con números demasiado altos.

Por ejemplo: $532\times8$

Gracias a la propiedad distributiva podremos descomponerlo en ejercicios más simples.

$8\times 532=8\times\left(500+30+2\right)$

$8\times 500=4000$

$+$

$8\times 30=240$

$+$

$8\times2=16$

$=$

$4000+240+16=4256$

Con los ejercicios de dividir la idea es similar, podemos utilizar la propiedad distributiva de un modo muy sencillo. Supongamos que nuestro ejercicio es así: $76:4$

Todo lo que tenemos que hacer para simplificar el asunto es tomar el primer número y «acercarlo» al número entero más cercano (más grande) que sea múltiplo del segundo número, o sea, en nuestro ejemplo, el mayor número entero más cercano a $76$ múltiplo de $4$ es $80$. Entonces

$76:4=\left(80-4\right):4$

$=$

$80:4-4:4$

$=$

$20-1=19$

Es decir 

$76:4=19$

En las primeras clases del cole sólo descomponemos ejercicios compuestos, generalmente, por un solo par de paréntesis. Después de sexto grado estudiamos la propiedad distributiva extendida con la que descomponemos ejercicios que tienen más de un par de paréntesis.

Por ejemplo, en el ejercicio

$\left(7+2\right)\times\left(5+8\right)$

Utilizaremos la propiedad distributiva extendida para simplificar el ejercicio del siguiente modo

Se multiplica cada uno de los términos comprendidos en el primer par de paréntesis por cada uno de los términos del segundo, entonces:

$\left(5+8\right)\times\left(7+2\right)$

$=$

$5\times7+5\times2+8\times7+8\times2$

$=$

$35+10+56+16$

$=$

$117$

Del mismo modo, utilizamos la propiedad distributiva extendida para resolver ecuaciones con incógnitas, por ejemplo:

$\left(X+2\right)\cdot\left(3X-5\right)$

$=$

$\left(X\cdot3X\right)+\left(X\cdot-5\right)+\left(2\cdot3X\right)+\left(2\cdot-5\right)$

$=$

$3X²-5X+6X-10$

$=$

$3X²+X-10$

Tarea:

Resolver el ejercicio

$?=84:4$

Solución:

Distribuimos el número 84 en varios números.

Nosotros siempre recomendamos en la cantidad que sea más fácil y luego dividirlo por 4.

Por lo tanto, en este caso decidimos distribuirlo en:

$40+40+4=84$

$84:4=\text{?}$

$(40+40+4):4=\text{?}$

$+40:4=10$

$+40:4=10$

$+4:4=1$

Por lo tanto: $84:4=21$

Respuesta:

$21$

Tarea:

Resolver el ejercicio

$72:6=\text{?}$

Solución:

Distribuimos el número 72 en dos factores.

Sumamos los números para que sea más fácil dividirlo por 6.

$60+12=72$

$72:6=\text{?}$

$(60+12):6=$

$+60:6=10$

$+12:6=2$

$72:6=$

Respuesta:

$12$

Tarea:

Resolver el ejercicio

$?=65:13$

Solución:

Distribuimos a 65 en 3 números: $26+26+13=65$

Luego dividimos cada uno de ellos por 13:

$65:13=\text{?}$

$(26+26+13):13=\text{?}$

$+26:13=2$

$+26:13=2$

$+13:13=1$

$(2+2+1)=5$

$65:13=5$

Respuesta:

$5$

$742:4=$

Solución:

$742:4=(700+40+2):4$

$=(400+200+100+40+2):4$

$=\frac{400}{4}+\frac{200}{4}+\frac{100}{4}+\frac{40}{4}+\frac{2}{4}=$

$=100+50+25+10+\frac{1}{2}=185\frac{1}{2}$

Respuesta:

$185\frac{1}{2}$

$(3+20)\times(12+4)=\text{?}$

Solución:

$(3+20)\times(12+4)=3\times2+3\times4+20\times12+20\times4$

$=36+12+240+80=48+320=368$

Respuesta:

$368$

$(7+2+3)(7+6)(12-3-4)=\text{?}$

Solución:

$(7+2+3)(7+6)(12-3-4)=\text{?}$

$(7+2+3)\times13\times5=12\times13\times5=12\times5\times13$

$=60\times13=780$

Respuesta:

$780$

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Resolver los cinco ejercicios siguientes aplicando la propiedad distributiva:

• $=294:3=$
• $105\times4=$
• $505:5=$
• $207\times5=$
• $168:8=$

Soluciones:

• $294:3=(300−6):3=300:3−6:3=100−2=98$
• $105\times4=(100+5)\times4=100\times4+5\times4=400+20=420$
• $505:5=(500+5):5=500:5+5:5=100+1=101$
• $207\times5=(200+7)\times5=200\times5+7\times5=1000+35=1035$
• $168:8=(160+8):8=160:8+8:8=20+1=21$

$351$ alumnos de una escuela fueron repartidos equitativamente entre $9$ clases.

¿Cuántos alumnos hay en cada clase?

Se debe responder haciendo uso de la propiedad distributiva.

Solución:

Primeramente, escribamos el ejercicio:

$351:9=(360−9):9=360:9−9:9=40−1=39$

Respuesta:

En cada una de las clases hay $39$ alumnos.

Dani compró $15$ envases. En cada envase había $9$ golosinas.

¿Cuántas golosinas compró Dani en total?

Se debe responder haciendo uso de la propiedad distributiva.

Solución:

Primeramente, escribamos el ejercicio:

$15\times9=(10+5)\times9=10\times9+5\times9=90+45=135$

Respuesta:

Dani compró 135 golosinas en total.

Laura embaló $246$ cuadernos en $6$ paquetes del mismo modo.

¿Cuántos cuadernos colocó Laura en cada paquete?

Se debe responder haciendo uso de la propiedad distributiva.

Solución:

Primeramente, escribamos el ejercicio:

$246:6=(240+6):6=240:6+6:6=40+1=41$

Respuesta:

Laura embaló $41$ cuadernos en cada paquete.

La mamá tenía $894$$. Repartió el dinero equitativamente entre sus tres hijos.

¿Cuánto dinero recibió cada hijo?

Se debe responder haciendo uso de la propiedad distributiva.

Solución:

Primeramente, escribamos el ejercicio:

$894:3=(900−6):3=900:3−6:3=300−2=298$

Respuesta:

Cada uno de sus hijos recibió $298$$.

• $187\cdot(8-5)=187⋅(8−5)=$
• ${2\over3}\cdot(12+0-5)=32​⋅(12+0−5)=$
• $5\cdot(2{1\over2}+1{1\over6}+{3\over4})=5⋅(221​+161​+43​)=$
• $(10+5+18)\cdot4=(10+5+18)⋅4=$
• $(5.5-0.8)\cdot5=(5.5−0.8)⋅5=$
• $340:(12-7)=340:(12−7)=$
• $(29-4):5=(29−4):5=$
• ${5\over1}:(6+1-5)=15​:(6+1−5)=$
• $18:(5+7+4)=18:(5+7+4)=$
• $({1\over7}-{1\over3}):4=(71​−31​):4=$
• $97\cdot12=97⋅12=$
• $3\cdot36=3⋅36=$
• $120:97=120:97=$
• $8:{1\over2}=8:21​=$
• $151\cdot23=151⋅23=$