Propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite multiplicar dos factores y luego, multiplicar el producto por el tercer factor.

Se puede utilizar esta propiedad de tres formas:
La primera:
Multiplicar primero el factor segundo por el tercero. Multiplicar el producto de dicha operación por el primer factor.
La segunda:
Multiplicar el primer factor por el segundo. Multiplicar el producto de dicha operación por el tercer factor.
La tercera:
Multiplicar el primer factor por el tercero. Multiplicar el producto de dicha operación por el segundo factor.
Colocaremos entre paréntesis los factores que queramos multiplicar en primer lugar.
La propiedad asociativa de la multiplicación también funciona para expresiones algébricas, pero no para divisiones.
Formulemos la propiedad asociativa de la multiplicación como la siguiente regla:
$a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)=(a\times c)\times b$

Veámoslo en un ejemplo:

$X\times 5\times 3=X\times 15$

Asociamos el factor segundo y el tercero, los multiplicamos, luego multiplicamos el producto de esta multiplicación por el primer factor.
Obtendremos una expresión equivalente al ejercicio inicial ya que la propiedad asociativa no altera el resultado.
Coloquemos cualquier número en lugar de la X para verificarlo:
$X=2$
$2\times5\times3=2\times15$

$30=30$
Como podemos ver, después de aplicar la propiedad asociativa y de multiplicar los dos últimos términos del ejercicio (el factor segundo y el tercero), y luego de haber multiplicado el producto por el primer término, el resultado es el mismo.

Controlemos los siguientes ejemplos: 

$4\times 5\times 2$

Nos será más fácil dirigirnos al ejercicio si primero solucionamos $5\times2$ y sólo después multiplicamos el resultado por 4.
La propiedad asociativa de la multiplicación nos lo permite, por lo tanto obtendremos:

$4\times 5\times 2=4\times 10=40$

Veamos otro ejemplo: 

$9\times 25\times 4$

Nos será más fácil dirigirnos al ejercicio si primero solucionamos $25\times 4$ y sólo después multiplicamos el resultado por 9.
La propiedad asociativa de la multiplicación nos lo permite, por lo tanto obtendremos:

$9\times 25\times 4=9\times 100=900$

Practica esta propiedad una y otra vez, hasta que llegues a utilizarla sin darte cuenta. Esta propiedad es muy importante para todos los ejercicios matemáticos que tendrás que solucionar.

$7\times5\times2=$

Solución:

$7\times5\times2=7\times10=70$

Respuesta:

$70$

$3\times5\times5=$

Solución:

$3\times5\times5=3\times25=75$

Respuesta:

$75$

$35\times6\times2=$

Solución:

$35\times6\times2=$

$(30+5)\times6\times2=$

$=180+30\times2$

$=210\times2$

$=420$

Respuesta:

$420$

$(8-3-1)\times4\times3=$

Solución:

$(8-3-1)\times4\times3=\text{?}$

$(5-1)\times4\times3=\text{?}$

$(5-1)\times4\times3=4\times4\times3$

$=16\times3=48$

Respuesta:

$48$

$(7-4-3)(15-6-2)+(3\times5\times2)=?$

Solución:

$(7-4-3)(15-6-2)+(3\times5\times2)$

$(3-3)(9-2)+(3\times10)$

$0\times7+30=0+30=30$

Respuesta:

$30$

$4.1\times1.6\times3.2+4.7=\text{?}$

Solución:

$4.1\times1.6\times3.2+4.7=\text{?}$

$=4\frac{1}{10}\times1\frac{6}{10}\times3\frac{2}{10}=4\frac{7}{10}$

$\frac{41}{10}\times\frac{16}{10}\times\frac{32}{10}+\frac{47}{10}=\frac{656}{100}\times\frac{32}{10}+\frac{47}{10}$

$\frac{41\times16}{10\times10}=\frac{656}{100}$

$=\frac{656\times32}{100\times10}+\frac{47}{10} =$

$=\frac{20992}{1000}+\frac{4700}{1000}$

$=\frac{25692}{1000}=25.692$

Respuesta:

$25.692$

$\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{4}=\text{?}$

Solución:

Resolvemos la parte izquierda de la ecuación:

$\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{4\times3}{7\times2}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}$

Continuamos con toda la ecuación:

$\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{4}=\frac{6}{7}\times\frac{7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1.5$

Respuesta:

$\frac{3}{2}$

¿Qué es la propiedad asociativa en la multiplicación?

En el caso de la multiplicación la propiedad asociativa se refiere a que no importa el orden que se acomoden los factores de una multiplicación de tres o más números, dará el mismo resultado, es decir, obtendremos el mismo resultado si primero multiplicamos el primer factor por el segundo y después el resultado lo multiplicamos por el tercero, veamos un ejemplo

$6\times3\times5=$

$18\times5=90$

O lo podemos hacer de la siguiente manera, ahora multiplicamos el segundo factor por el tercero y el resultado lo multiplicamos por el primer factor

$6\times3\times5=$

$6\times15=90$

Como podemos observar da el mismo resultado en ambos casos.

¿Cómo se aplica la propiedad asociativa en la suma y la multiplicación?

En la suma

La propiedad asociativa en la suma la representaremos de la siguiente manera: $a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c=\left(a+c\right)+b$, significa que no importa como ordenemos los números o los sumandos, el resultado es el mismo, asignémosle valores a $a=3$, $b=8$ y $c=15$, entonces aplicando la propiedad asociativa tendremos

$3+\left (8+15\right)=3+23=26$

$\left (3+8\right)+15=11+15=26$

$\left (3+15\right)+8=18+8=26$

Tenemos el mismo resultado en los tres casos

En la multiplicación

La propiedad asociativa en la multiplicación la podemos representar de la siguiente manera: $a\times\left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c=\left(a\times c\right)\times b$, esto quiere decir que no importa que números se multipliquen primero el resultado no se afecta. Si le asignamos valores a $a=7$, $b=3$ y $c=2$ aplicando la propiedad asociativa obtendremos:

$\left (7 \times3\right)\times2=21 \times2=42$

$7\times \left (3\times2\right)=7 \times6=42$

$\left (7\times 2\right) \times3=14 \times3=42$

Podemos observar que en los tres casos nos dio el mismo resultado pero los factores están en orden diferente.

¿Cuáles son las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas de la multiplicación?

Asociatividad: Ahora se pueden multiplicar tres números y no importa cómo se asocien el orden de estos tres, saldrá el mismo resultado $a\times\left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c=\left(a\times c\right)\times b$,

Conmutatividad: Nos dice que no importa el orden de los factores, el resultado será el mismo $a\times b=b\times a$

Distributiva: la multiplicación distribuye a la suma $a\times\left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Si te interesa este artículo también te pueden interesar los siguientes artículos:

Propiedad conmutativa de la suma

Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad asociativa

Propiedad asociativa de la suma

La propiedad distributiva para alumnos de 1.º de ESO

Propiedad distributiva

Fórmulas de multiplicación abreviadas

Para una amplia gama de artículos de matemáticas visite el blog de Tutorela