Propiedad asociativa de la multiplicación

Propiedad asociativa de la multiplicación

La propiedad asociativa de la multiplicación nos permite multiplicar dos factores y luego, multiplicar el producto por el tercer factor.

Se puede utilizar esta propiedad de tres formas:
La primera:
Multiplicar primero el factor segundo por el tercero. Multiplicar el producto de dicha operación por el primer factor.
La segunda:
Multiplicar el primer factor por el segundo. Multiplicar el producto de dicha operación por el tercer factor.
La tercera:
Multiplicar el primer factor por el tercero. Multiplicar el producto de dicha operación por el segundo factor.
Colocaremos entre paréntesis los factores que queramos multiplicar en primer lugar.
La propiedad asociativa de la multiplicación también funciona para expresiones algébricas, pero no para divisiones.
Formulemos la propiedad asociativa de la multiplicación como la siguiente regla:
\( a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)=(a\times c)\times b \)

Veámoslo en un ejemplo:

\( X\times 5\times 3=X\times 15 \)

Asociamos el factor segundo y el tercero, los multiplicamos, luego multiplicamos el producto de esta multiplicación por el primer factor.
Obtendremos una expresión equivalente al ejercicio inicial ya que la propiedad asociativa no altera el resultado.
Coloquemos cualquier número en lugar de la X para verificarlo:
\(X=2\)
\( 2\times5\times3=2\times15 \)

\(30=30\)
Como podemos ver, después de aplicar la propiedad asociativa y de multiplicar los dos últimos términos del ejercicio (el factor segundo y el tercero), y luego de haber multiplicado el producto por el primer término, el resultado es el mismo.


Controlemos los siguientes ejemplos: 

\( 4\times 5\times 2 \)

Nos será más fácil dirigirnos al ejercicio si primero solucionamos \( 5\times2 \) y sólo después multiplicamos el resultado por 4.
La propiedad asociativa de la multiplicación nos lo permite, por lo tanto obtendremos:

\( 4\times 5\times 2=4\times 10=40 \)


Veamos otro ejemplo: 

\( 9\times 25\times 4 \)

Nos será más fácil dirigirnos al ejercicio si primero solucionamos \( 25\times 4 \) y sólo después multiplicamos el resultado por 9.
La propiedad asociativa de la multiplicación nos lo permite, por lo tanto obtendremos:

\( 9\times 25\times 4=9\times 100=900 \)

Practica esta propiedad una y otra vez, hasta que llegues a utilizarla sin darte cuenta. Esta propiedad es muy importante para todos los ejercicios matemáticos que tendrás que solucionar.


Ejercicios con soluciones y explicaciones sobre Propiedad asociativa de la multiplicación:

Ejercicio 1:

\( 7\times5\times2= \)

Solución:

\( 7\times5\times2=7\times10=70 \)

Respuesta:

\(70 \)


Ejercicio 2:

\( 3\times5\times5= \)

Solución:

\(7\times5\times2=7\times10=70\times5\times4=3\times20=60 \)

Respuesta:

\(60 \)


Ejercicio 3:

\( 35\times6\times2= \)

Solución:

\( 35\times6\times2=\)

\( (30+5)\times6\times2= \)

\( =180+30\times2 \)

\( 210\times2 \)

\( =420 \)

Respuesta:

\( 420 \)


Ejercicio 4:

\( (8-3-1)\times4\times3= \)

Solución:

\( (8-3-1)\times4\times3=\text{?} \)

\( (5-1)\times4\times3=\text{?} \)

\( (5-1)\times4\times3=4\times4\times3 \)

\( =16\times3=48 \)

Respuesta:

\( 48 \)


Ejercicio 5:

\( (7-4-3)(15-6-2)+(3\times5\times2)=? \)

Solución:

\( (7-4-3)(15-6-2)+(3\times5\times2) \)

\( (3-3)(9-2)+(3\times10) \)

\( 0\times7+30=0+30=30 \)

Respuesta: \(30 \)


Ejercicio 6:

\( 4.1\times1.6\times3.2+4.7=\text{?} \)

Solución:

\( 4\times1\times1.6\times3.2+4.7=\text{?} \)

\(=4\frac{1}{10}\times1\frac{6}{10}\times3\frac{2}{10}=4\frac{7}{10} \)

\( \frac{41}{10}\times\frac{16}{10}\times\frac{32}{10}+\frac{47}{10}=\frac{656}{100}\times\frac{32}{10}+\frac{47}{10} \)

\(\frac{41\times16}{10\times10}=\frac{656}{100}=\frac{656\times32}{100\times10}=\frac{47}{1000} \)

\( =\frac{20992}{1000}+\frac{4700}{1000} \)

\( =\frac{25692}{1000}=25.692 \)

Respuesta:

\( 25.692 \)


Ejercicio 7:

\(\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{4}=\text{?} \)

Solución:

Resolvemos la parte izquierda de la ecuación:

\(\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{4\times3}{7\times2}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7} \)

Continuamos con toda la ecuación:

\(\frac{4}{7}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{4}=\frac{6}{7}\times\frac{7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1.5 \)

Respuesta: \( \frac{3}{2} \)


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