Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática

Completar el cuadrado en una ecuación cuadrática

El procedimiento de completar el cuadrado es una manera de resolver una ecuación cuadrática. Este procedimiento convierte una ecuación escrita según el padrón de la función cuadrática \(ax^2+bx+c\) en una expresión con incógnita al cuadrado, como en el siguiente ejemplo: \((X-r)^2-w\) donde \(r\) y \(w\) son parámetros.

Pasos del procedimiento de completar el cuadrado - combinados en un ejemplo

Dada la función \(X^2+10x+9\)

  1. Observemos la función cuadrática y enfoquémonos sólo y únicamente en \(ax^2+bx\).
    Por ahora ignoraremos a \(C\).
    En el ejemplo nos enfocaremos en \(X^2+10x\)
     
  2. Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviada y preguntémonos qué expresión podríamos colocar dentro de los paréntesis al cuadrado, es decir, qué \((a-b)^2\)  o \((a+b)^2\) acorde a lo que sea oportuno, que nos de lo que aparece en el par en el cual nos enfocamos \(ax^2+bx\)

    En el ejemplo - 
    la fórmula de multiplicación abreviada conveniente es: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

    Veamos ¿qué podemos colocar en lugar de \(a\) y \(b\) para obtener \(X^2+10x\)?
    La respuesta es \((X+5)^2\)
    abriremos esta expresión según la fórmula de multiplicación abreviada y obtendremos: \( X^2+10x+25\)
     
  3. Notemos que, la expresión entre paréntesis también trae consigo algún número y no sólo el par en el cual nos enfocamos, por lo tanto, deberemos neutralizarlo. Si el número agregado es negativo, lo añadiremos a la ecuación para anularlo. Si el número es positivo, lo restaremos de la ecuación y, de esta manera, se verá anulado.

    Además, volveremos a \(C\) en la función original y también lo escribiremos en la ecuación.
    En el ejemplo: 
    \( X^2+8x+25\)

    el número 25 ha sido agregado. Para anularlo restaremos 25 (sin añadir) y no nos olvidaremos de \(C\)   de la ecuación original – 9.

    Obtendremos:
    \( X^2+8x-25+9=\)
  4. Coloquemos en lugar del par \(ax^2+bx\) la expresión correspondiente entre paréntesis al cuadrado que hemos hallado y ordenemos la ecuación: llegaremos a completar el cuadrado.

    En el ejemplo:
    \((X+5)^2-25+9=\)
    \((X+5)^2-16\)

Ahora :
Los pasos para resolver la ecuación cuadrática después de completar el cuadrado: igualemos a cero la ecuación.
En el ejemplo: 
\((X+5)^2-16=0\)

Traspasemos la variable independiente al segundo miembro.

En el ejemplo : 

\((X+5)^2=16\)

Anotaremos la variable independiente como un número al cuadrado.
En el ejemplo:
\((X+5)^2=4^2\)
Solucionemos la ecuación y veamos cuántas soluciones posibles hay.

En el ejemplo : 
\((X+5)^2=4^2\)

Veremos que tenemos \( 2 \) soluciones y resolveremos:
Solución número uno: 
\(X+5=4\)
\(X=-1\)

Solución dos:
\(X+5=-4\)
\(X=-9\)

Los resultados son:
\(X=-1,-9\)