Desigualdad cuadrática

La desigualdad cuadrática nos muestra en qué intervalo la función es positiva y en cuál negativa - según el símbolo de desigualdad. Para resolver desigualdades cuadráticas de modo correcto es conveniente recordar dos cosas:

  1. Conjunto de positividad y de negatividad de la función:
    Conjunto de positividad - representa las \(X\) s en las cuales la gráfica de la parábola se encuentra sobre el eje \(X\), con valor \(Y\) positivo.
    Conjunto de negatividad - representa las \(X\) s en las cuales la gráfica de la parábola se encuentra debajo del eje \(X\), con valor \(Y\) negativo .
  2. La división por un término negativo - invierte el signo de la desigualdad.

Método para resolver la desigualdad cuadrática:

  1. Llevaremos a cabo transposición de miembros y aislaremos la ecuación cuadrática hasta que de un lado quede 0. Recordemos que cuando dividimos por un término negativo se invierte la desigualdad.
  2. Tracemos un esquema de la parábola - colocando puntos de intersección con el eje \(X\) e identificación del máximo y mínimo de la parábola.
  3. Calculemos cuál es el intervalo correspondiente según el ejercicio y el esquema. 
    Ecuación cuadrática \(>0∶\)  Conjunto de positividad
    Ecuación cuadrática \(<0∶\)  Conjunto de negatividad

Veamos un ejemplo:
\(3x(x+1)<2(x^2+15)+2x\)

Solución:
Progresaremos paso a paso:

  1. Hagamos transposición de miembros y aislemos la ecuación cuadrática hasta que de un lado quede 0. Recordemos que cuando dividimos por un término negativo se invierte la desigualdad.
    En el primer paso dejaremos 0 de un lado de la ecuación.
    Observa que, en este ejercicio, primero deberemos resolver lo que aparece entre paréntesis.
    Abriremos los paréntesis y obtendremos:
    \(3x^2+3x>2x^2+30+2x\)

    Ahora transpongamos miembros y obtendremos:
    \(X^2+X-30>0\)

Magnífico. Hemos dejado 0 de un lado. Continuemos al segundo paso.

2. Tracemos un esquema de la parábola - colocando puntos de intersección con el eje \(X\) e identificación del máximo y mínimo de la parábola.

Encontremos los puntos de intersección de la función con el eje \(X\):
Según la fórmula cuadrática obtendremos:

\(​​​​​​​X=5,-6\)

Veremos que el extremo de la función es el mínimo (sonrisa) ya que el coeficiente de \(X^2\) es positivo.
Tracemos un esquema:

Desigualdad cuadrática

3. Calculemos cuál es el intervalo correspondiente según el ejercicio y el esquema.  
En el ejercicio llegamos a la siguiente ecuación:
\(​​​​​​​X^2+X-30>0\)
Es decir, buscamos los intervalos en los cuales la función es mayor que 0. Su conjunto de positividad.

Nos preguntaremos: ¿En qué intervalos la función es positiva? ¿En qué \(X\) s la gráfica de la función está sobre el eje de la \(X\)?
La respuesta es cuando
\(X>5\)
\(X<-6 \)

Y éstas son las soluciones para la desigualdad cuadrática.