Trinomio al cuadrado

🏆Ejercicios de solución mediante trinomio

Más de una vez hemos escuchado a la maestra preguntar en clase: «¿Quién sabe resolver una ecuación cuadrática sin la fórmula?» Mirábamos a nuestro alrededor para ver quién sabía responder, «¿Saben qué es un trinomio?» Seguía preguntando la maestra Dudábamos y pensábamos de qué palabra podría derivar este término y qué cosa es un trinomio ¿qué hace realmente? ¿Cómo beneficia a nuestro conocimiento matemático entender acerca del trinomio? ¿Nos amplia la posibilidad de tener una mayor eficiencia matemática? O, de hecho, ¿tal vez esté de más incluirlo en el programa de estudios del noveno grado?

En este artículo intentaré responder a estas preguntas e incluso nos divertiremos con las propiedades del trinomio que nos ayudarán a resolver rápidamente ecuaciones cuadráticas, a simplificar fracciones, a multiplicar y dividir, a tratar con fracciones, incluso con el común denominador en fracciones con variables en el numerador y en el denominador.

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\( 4x^2=12x-9 \)

Quiz y otros ejercicios

¿Cuál es el origen de la palabra trinomio?

Trinomio es una palabra griega compuesta por dos componentes:

Por consiguiente: El trinomio al cuadrado es una expresión algebraica compuesta por tres términos, uno con incógnita al cuadrado (a la potencia 22), el segundo con incógnita sin potenciación y, el tercero, números sin incógnitas o letras que son diferentes de las que lleva la incógnita.

Por ejemplo, la forma:

X2+6X+8X^2+6X+8

Es un trinomio. Asimismo, la forma:

X24X+8-X^2-4X+8

también lo es, a pesar de que parte de los coeficientes de las incógnitas sean negativos.

Y, en modo general:

aX2+bX+caX^2+bX+c

Se trata de un trinomio al cuadrado cuando las letras a,b,ca,b,c : son correctas para cualquier número que coloquemos en su lugar, a excepción del 00

  • Observa que, colocar un 00 en el lugar de la a anulará la estructura de la forma cuadrática
  • en cambio, colocar un 00 en lugar de los parámetros bb o cc convertiría la expresión de trinomio (tres monomios) a una con sólo 22 monomios.

Conceptos básicos relacionados con la ecuación cuadrática y con el trinomio

Forma cuadrática

Una expresión algebraica con incógnita XX o YY a la potencia 22 es el máximo exponente


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Coeficiente

El coeficiente es un número que se escribe a la izquierda de la incógnita.


Parámetro

Un parámetro es una letra distinta de XX o YY que se encuentra dentro de la expresión en lugar de un número


¿Sabes cuál es la respuesta?

Monomio

Expresión compuesta por el producto o el cociente de cierto número con incógnita como: X5X5


Polinomio

Expresión compuesta por la suma o resta de 22 o más monomios en los que hay números e incógnitas como:

X+3X+3

4X24X-2 y otros así


Comprueba que lo has entendido

Dónde veremos trinomios al cuadrado en nuestros estudios de matemática

  • En la solución de una ecuación cuadrática sin la fórmula
  • En la simplificación de fracciones algebraicas que requieren convertir un trinomio a una multiplicación de factores para simplificar
  • En 4 operaciones matemáticas con fracciones algebraicas para llevar a cabo la simplificación o el hallazgo del común denominador adecuado se descompone cada estructura de trinomio en dos factores

Con este fin aprenderemos a descomponer todo trinomio - expresión cuadrática de tres monomios a la multiplicación de dos factores de polinomio por polinomio.


Factorización de trinomios

Para multiplicar las siguientes expresiones entre paréntesis volvamos a la propiedad distributiva extendida

(X+3)(X+2)=(X+3)(X+2)=

Obtendremos:

X2+3X+2X2×3= X^2+3X+2X2 × 3=

X2+(2+3)X+2×3= X^2+(2+3)X+2 × 3=

X2+5X+6 X^2+5X+6

Para realizar la operación opuesta de trinomio a la multiplicación original dada, buscaremos 22 números cuyo producto de dicho número sin las X X.

En nuestro caso es el 66 y la suma de ambos números da por resultado el coeficiente XX, que es el monomio del medio del trinomio -> en este caso el 55.

2×3=6 2×3=6

5=2+3 5=2+3

Entonces factorizamos

(X+2)(X+3) (X+2)(X+3)

y buscaremos dos números que cumplan con

aX2+bX+c aX^2+bX+c

Así que, en el siguiente trinomio:

X2+8X+12 X^2+8X+12

Hallaremos los números cuyo producto sea 12 12 y su suma 8 8. Éstos son: 6 6 y 2 2, ya que:

8=2+6 8=2+6

12=6×2 12=6×2

Por lo tanto, la factorización es:

(X+2)(X+6) (X+2)(X+6)


También en la siguiente forma:

X212X+20 X^2-12X+20

Hallaremos los números cuyo producto sea 20 20 y su suma 12 12, sabemos que ambos deberán ser negativos ya que, el producto es positivo y la suma negativa.

Por consiguiente, obtendremos :

20=(10)×(2) 20=(10-)×(2-)

12=(10)+(2) 12-=(10-)+(2-)

Por lo tanto, la factorización es:

(X+2)(X+6) (X+2)(X+6)


¿Crees que podrás resolverlo?

¿Qué ocurre cuando el producto de los factores es negativo?

Esto nos indica que dichos números tienen signos diferentes y, cuando la suma es positiva, también aduce a que el número con valor definido más grande es positivo.

Por ejemplo:

X2+5X6 X^2+5X-6

Los números 6 6 y (1) (-1), su suma es 5 5 y su producto (6) (-6). Por consiguiente, factorizaremos:

(X1)(X+6) (X-1)(X+6)

X27X8 X^2-7X-8

Busquemos 2 2 números cuyo producto sea (8) (-8) y cuya suma sea (7) (-7), y éstos son: (8)  (-8)  y 1 

Porque: 8=(8)(1)  8-=(8-)(1) 

y también: 7=(8)+1  7-=(8-)+1 

Por lo tanto, la factorización es:

(X+1)(X8)  (X+1)(X-8) 


Cómo resolver ecuaciones cuadráticas sin fórmula

X2+11X+24=0  X^2+11X+24=0 

Buscaremos 2 2 números cuyo producto sea 24  24  y cuya suma sea 11  11 , y éstos son: 8,3  8, 3  y obtendremos:

(X+8)(X+3)=0  (X+8)(X+3)=0 

Para conseguir el resultado 0  podría ser que el valor de la expresión entre paréntesis sea 0=(8+X)  0=(8+X) 

Esto ocurrirá cuando 8=X   8 =X  

Cuando 0=3+X  0= 3+X 

Así que x=3  x=-3 

Y, de este modo, simplificando fracciones algebraicas, factorizaremos todo trinomio y podremos considerar diversas posibilidades de simplificación:

x2+2x+1x2x2=(x+1)(x+1)(x+1)(x2) \frac{x^2+2x+1}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}

y llegaremos a que: 

x+1x2 \frac{x+1}{x-2}

No se puede simplificar sus términos debido a las operaciones de suma y resta que hay entre ellos.

Asimismo, podremos simplificar en operaciones de multiplicación de fracciones descomponiendo el trinomio a una multiplicación de dos factores y simplificando en la medida posible.

1x1×x24x+3x3= \frac{1}{x-1}\times\frac{x^2-4x+3}{x-3}=

1x1×(x1)(x3)x3=1 \frac{1}{x-1}\times\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-3}=1

También en operaciones de dividir: Luego de convertir el ejercicio a otro de inverso multiplicativo simplificaremos lo que más sea posible después de factorizar el trinomio.

x2+2x+1x26+9:x2+3x+2x2x6 \frac{x^2+2x+1}{x^2-6+9}:\frac{x^2+3x+2}{x^2-x-6}

(x+1)(x+1)(x3)(x3)×(x3)(x+2)(x+2)(x+1)=x+1x3 \frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}\times\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{x-3}

Igualmente, para hallar el común denominador:

1x22x31x3 \frac{1}{x^2-2x-3}-\frac{1}{x-3}
1(x3)(x+1)1x3 \frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{x-3}
1(x+1)(x3)(x+1)=x(x3)(x+1) \frac{1-\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\frac{-x}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}


Comprueba tu conocimiento

¿Cómo se factoriza un trinomio en el cual el coeficiente 2X es diferente de 1?

En modo general: aX2+bX+c  aX^2+bX+c 

Buscaremos dos términos cuya suma sea b b y dos factores cuyo producto sea ac ac

Término A+ A + Término B=b B = b

Término A× Término B=ac B = ac
Descompondremos b b a la suma de estos dos términos, lo que permitirá factorizar el trinomio sacando el factor común afuera de los paréntesis

Por ejemplo:

2X2+5X+3= 2X^2+5X+3=

3+2=5, 3×2=6 3+2=5 ,~ 3×2=6

Por consiguiente, obtendremos:

2X2+2X+3X+3= 2X^2+2X+3X+3=

2X(X+1)+3(X+1)= 2X(X+1)+3(X+1)=

(2X+3)(X+1) (2X+3)(X+1)


Otro sistema para factorizar aplicando la fórmula cuadrática:

Así, por ejemplo:

2X2+5X+3=   2X^2+5X+3=  

Obtendremos:

2(X2+2.5X+1.5)=  2(X^2+2.5X+1.5)= 

  1. Con la fórmula cuadrática hallaremos los números de reinicio del trinomio dentro de los paréntesis:

X2+2.5X+1.5=0 X^2+2.5X+1.5=0

a=1, b=2.5,  c=1.5 a=1,~b=2.5,~ c=1.5

Ahora coloquemos en la fórmula cuadrática

b±b24ac2a= \frac{-b\pm\sqrt{b^2}-4ac}{2a}=

y llegaremos a que:

X1=1 X_1=-1, X2=1.5 X_2=-1.5

a. Construiremos aplicando X1 X_1 y X2 X_2 la factorización:

a(XX1)(XX2) a(X-X_1)(X-X_2)

Por consiguiente, se obtendrá la siguiente factorización:

2(X+1.5)(X+1) 2(X+1.5)(X+1)

  1. Multiplicamos el 22 de los primeros paréntesis para conseguir números enteros y se factorizará:

(2X+3)(X+1) (2X+3)(X+1)


¿Sabes cuál es la respuesta?

Sustitución de números por letras en el trinomio

Al sustituir los números de un trinomio por letras es fundamental que lo hagamos acorde a las normas básicas.

Si 1=a 1=a, podremos llevar a cabo una factorización acortada

Buscaremos 2 términos cuyo producto sea c c y su suma b b.

Por ejemplo:

X2+2ax3a2 X^2+2ax-3a^2

Descubriremos que el producto de las expresiones es:

a×3a -a×3a

es

3a2 -3a2

y su suma es 2a 2a, por lo tanto, obtendremos

(X+3a)(Xa) (X+3a)(X-a)

También cuando a es un número que no es 1 1 , factorizaremos el coeficiente X X en dos términos cuyo producto equivalga a ac ac .

Así, por ejemplo:

2X2+(2a)Xa 2X^2+(2-a)X-a

y obtendremos:

2X2+2XaXa 2X^2+2X-aX-a

2X(X+1)a(X+1) 2X(X+1)-a(X+1)

Sacaremos el factor común X+1 X+1 y obtendremos:

(X+1)(2Xa) (X+1)(2X-a)


Ejemplos y ejercicios con soluciones de trinomio al cuadrado

Ejercicio #1

6016y+y2=4 60-16y+y^2=-4

Solución en video

Solución Paso a Paso

Resolvamos la ecuación dada:

6016y+y2=4 60-16y+y^2=-4 Primero, organicemos la ecuación moviendo los términos:

6016y+y2=46016y+y2+4=0y216y+64=0 60-16y+y^2=-4 \\ 60-16y+y^2+4=0 \\ y^2-16y+64=0 Ahora, notemos que podemos descomponer la expresión en el lado izquierdo usando la fórmula corta de factorización cuadrática:

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2 Esto se hace usando el hecho de que:

64=82 64=8^2 Así que presentemos el término exterior en el lado derecho como un cuadrado:

y216y+64=0y216y+82=0 y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-16y+\textcolor{blue}{8}^2=0 Ahora examinemos de nuevo la fórmula corta de factorización que mencionamos anteriormente:

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 Y la expresión en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso:

y216y+82=0 \textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2=0 Notemos que los términos y2,82 \textcolor{red}{y}^2,\hspace{6pt}\textcolor{blue}{8}^2 efectivamente coinciden con la forma del primer y tercer término en la fórmula corta de multiplicación (que están resaltados en rojo y azul),

Pero para que podamos descomponer la expresión relevante (que está en el lado izquierdo de la ecuación) usando la fórmula corta que mencionamos, la coincidencia con la fórmula corta también debe aplicarse al término restante, es decir, el término medio en la expresión (subrayado):

(ab)2=a22ab+b2 (\textcolor{red}{a}-\textcolor{blue}{b})^2=\textcolor{red}{a}^2-\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 En otras palabras - nos preguntaremos si es posible presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación como:

y216y+82=0?y22y8+82=0 \textcolor{red}{y}^2-\underline{16y}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 \\ \updownarrow\text{?}\\ \textcolor{red}{y}^2-\underline{2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}}+\textcolor{blue}{8}^2 =0 Y efectivamente se cumple que:

2y8=16y 2\cdot y\cdot8=16y Así que podemos presentar la expresión en el lado izquierdo de la ecuación dada como una diferencia de dos cuadrados:

y22y8+82=0(y8)2=0 \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 A partir de aquí podemos sacar raíces cuadradas para los dos lados de la ecuación (recuerda que hay dos posibilidades - positiva y negativa al sacar raíces cuadradas), lo resolveremos fácilmente aislando la variable en un lado:

(y8)2=0/y8=±0y8=0y=8 (y-8)^2=0\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ y-8=\pm0\\ y-8=0\\ \boxed{y=8}

Resumamos entonces la solución de la ecuación:

6016y+y2=4y216y+64=0y22y8+82=0(y8)2=0y8=0y=8 60-16y+y^2=-4 \\ y^2-16y+64=0 \\ \downarrow\\ \textcolor{red}{y}^2-2\cdot\textcolor{red}{y}\cdot\textcolor{blue}{8}+\textcolor{blue}{8}^2=0 \\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{y}-\textcolor{blue}{8})^2=0 \\ \downarrow\\ y-8=0\\ \downarrow\\ \boxed{y=8}

Así que la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

y=8 y=8

Ejercicio #2

4x2=12x9 4x^2=12x-9

Solución en video

Respuesta

x=32 x=\frac{3}{2}

Ejercicio #3

x2+10x=25 x^2+10x=-25

Solución en video

Respuesta

x=5 x=-5

Ejercicio #4

x210x=16 x^2-10x=-16

Solución en video

Respuesta

x=2,8 x=2,8

Ejercicio #5

x2+144=24x x^2+144=24x

Solución en video

Respuesta

x=12 x=12

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