Trinomio al cuadrado

Más de una vez hemos escuchado a la maestra preguntar en clase: «¿Quién sabe resolver una ecuación cuadrática sin la fórmula?» Mirábamos a nuestro alrededor para ver quién sabía responder, «¿Saben qué es un trinomio?» Seguía preguntando la maestra Dudábamos y pensábamos de qué palabra podría derivar este término y qué cosa es un trinomio ¿qué hace realmente? ¿Cómo beneficia a nuestro conocimiento matemático entender acerca del trinomio? ¿Nos amplia la posibilidad de tener una mayor eficiencia matemática? O, de hecho, ¿tal vez esté de más incluirlo en el programa de estudios del noveno grado?

En este artículo intentaré responder a estas preguntas e incluso nos divertiremos con las propiedades del trinomio que nos ayudarán a resolver rápidamente ecuaciones cuadráticas, a simplificar fracciones, a multiplicar y dividir, a tratar con fracciones, incluso con el común denominador en fracciones con variables en el numerador y en el denominador.

Trinomio es una palabra griega compuesta por dos componentes:

• Tri - es tres en griego
• Nom - es partición - con incógnita al cuadrado(es decir a la segunda potencia)

Por consiguiente: El trinomio al cuadrado es una expresión algebraica compuesta por tres términos, uno con incógnita al cuadrado (a la potencia $2$), el segundo con incógnita sin potenciación y, el tercero, números sin incógnitas o letras que son diferentes de las que lleva la incógnita.

Por ejemplo, la forma:

$X^2+6X+8$

Es un trinomio. Asimismo, la forma:

$-X^2-4X+8$

también lo es, a pesar de que parte de los coeficientes de las incógnitas sean negativos.

Y, en modo general:

$aX^2+bX+c$

Se trata de un trinomio al cuadrado cuando las letras $a,b,c$ : son correctas para cualquier número que coloquemos en su lugar, a excepción del $0$

• Observa que, colocar un $0$ en el lugar de la a anulará la estructura de la forma cuadrática
• en cambio, colocar un $0$ en lugar de los parámetros $b$ o $c$ convertiría la expresión de trinomio (tres monomios) a una con sólo $2$ monomios.

Una expresión algebraica con incógnita $X$ o $Y$ a la potencia $2$ es el máximo exponente

El coeficiente es un número que se escribe a la izquierda de la incógnita.

Un parámetro es una letra distinta de $X$ o $Y$ que se encuentra dentro de la expresión en lugar de un número

Expresión compuesta por el producto o el cociente de cierto número con incógnita como: $X5$

Expresión compuesta por la suma o resta de $2$ o más monomios en los que hay números e incógnitas como:

$X+3$

$4X-2$ y otros así

• En la solución de una ecuación cuadrática sin la fórmula
• En la simplificación de fracciones algebraicas que requieren convertir un trinomio a una multiplicación de factores para simplificar
• En 4 operaciones matemáticas con fracciones algebraicas para llevar a cabo la simplificación o el hallazgo del común denominador adecuado se descompone cada estructura de trinomio en dos factores

Con este fin aprenderemos a descomponer todo trinomio - expresión cuadrática de tres monomios a la multiplicación de dos factores de polinomio por polinomio.

Para multiplicar las siguientes expresiones entre paréntesis volvamos a la propiedad distributiva extendida

$(X+3)(X+2)=$

Obtendremos:

$X^2+3X+2X2 × 3=$

$X^2+(2+3)X+2 × 3=$

$X^2+5X+6$

Para realizar la operación opuesta de trinomio a la multiplicación original dada, buscaremos $2$ números cuyo producto de dicho número sin las $X$.

En nuestro caso es el $6$ y la suma de ambos números da por resultado el coeficiente $X$, que es el monomio del medio del trinomio -> en este caso el $5$.

$2×3=6$

$5=2+3$

Entonces factorizamos

$(X+2)(X+3)$

y buscaremos dos números que cumplan con

$aX^2+bX+c$

Así que, en el siguiente trinomio:

$X^2+8X+12$

Hallaremos los números cuyo producto sea $12$ y su suma $8$. Éstos son: $6$ y $2$, ya que:

$8=2+6$

$12=6×2$

Por lo tanto, la factorización es:

$(X+2)(X+6)$

También en la siguiente forma:

$X^2-12X+20$

Hallaremos los números cuyo producto sea $20$ y su suma $12$, sabemos que ambos deberán ser negativos ya que, el producto es positivo y la suma negativa.

Por consiguiente, obtendremos :

$20=(10-)×(2-)$

$12-=(10-)+(2-)$

Por lo tanto, la factorización es:

$(X+2)(X+6)$

Esto nos indica que dichos números tienen signos diferentes y, cuando la suma es positiva, también aduce a que el número con valor definido más grande es positivo.

Por ejemplo:

$X^2+5X-6$

Los números $6$ y $(-1)$, su suma es $5$ y su producto $(-6)$. Por consiguiente, factorizaremos:

$(X-1)(X+6)$

$X^2-7X-8$

Busquemos $2$ números cuyo producto sea $(-8)$ y cuya suma sea $(-7)$, y éstos son: $(-8)$ y $1$

Porque: $8-=(8-)(1)$

y también: $7-=(8-)+1$

Por lo tanto, la factorización es:

$(X+1)(X-8)$

$X^2+11X+24=0$

Buscaremos $2$ números cuyo producto sea $24$ y cuya suma sea $11$, y éstos son: $8, 3$ y obtendremos:

$(X+8)(X+3)=0$

Para conseguir el resultado $0$ podría ser que el valor de la expresión entre paréntesis sea $0=(8+X)$

Esto ocurrirá cuando $8 =X$

Cuando $0= 3+X$

Así que $x=-3$

Y, de este modo, simplificando fracciones algebraicas, factorizaremos todo trinomio y podremos considerar diversas posibilidades de simplificación:

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

y llegaremos a que: 

$\frac{x+1}{x-2}$

No se puede simplificar sus términos debido a las operaciones de suma y resta que hay entre ellos.

Asimismo, podremos simplificar en operaciones de multiplicación de fracciones descomponiendo el trinomio a una multiplicación de dos factores y simplificando en la medida posible.

$\frac{1}{x-1}\times\frac{x^2-4x+3}{x-3}=$

$\frac{1}{x-1}\times\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-3}=1$

También en operaciones de dividir: Luego de convertir el ejercicio a otro de inverso multiplicativo simplificaremos lo que más sea posible después de factorizar el trinomio.

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-6+9}:\frac{x^2+3x+2}{x^2-x-6}$

$\frac{\left(x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}\times\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}=\frac{x+1}{x-3}$

Igualmente, para hallar el común denominador:

$\frac{1}{x^2-2x-3}-\frac{1}{x-3}$
$\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\frac{1}{x-3}$
$\frac{1-\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}=\frac{-x}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}$

En modo general: $aX^2+bX+c$

Buscaremos dos términos cuya suma sea $b$ y dos factores cuyo producto sea $ac$

Término $A +$ Término $B = b$

Término $A×$ Término $B = ac$
Descompondremos $b$ a la suma de estos dos términos, lo que permitirá factorizar el trinomio sacando el factor común afuera de los paréntesis

Por ejemplo:

$2X^2+5X+3=$

$3+2=5 ,~ 3×2=6$

Por consiguiente, obtendremos:

$2X^2+2X+3X+3=$

$2X(X+1)+3(X+1)=$

$(2X+3)(X+1)$

Así, por ejemplo:

$2X^2+5X+3=$

Obtendremos:

$2(X^2+2.5X+1.5)=$

1. Con la fórmula cuadrática hallaremos los números de reinicio del trinomio dentro de los paréntesis:

$X^2+2.5X+1.5=0$

$a=1,~b=2.5,~ c=1.5$

Ahora coloquemos en la fórmula cuadrática

$\frac{-b\pm\sqrt{b^2}-4ac}{2a}=$

y llegaremos a que:

$X_1=-1$, $X_2=-1.5$

a. Construiremos aplicando $X_1$ y $X_2$ la factorización:

$a(X-X_1)(X-X_2)$

Por consiguiente, se obtendrá la siguiente factorización:

$2(X+1.5)(X+1)$

1. Multiplicamos el $2$ de los primeros paréntesis para conseguir números enteros y se factorizará:

$(2X+3)(X+1)$

Al sustituir los números de un trinomio por letras es fundamental que lo hagamos acorde a las normas básicas.

Si $1=a$, podremos llevar a cabo una factorización acortada

Buscaremos 2 términos cuyo producto sea $c$ y su suma $b$.

Por ejemplo:

$X^2+2ax-3a^2$

Descubriremos que el producto de las expresiones es:

$-a×3a$

es

$-3a2$

y su suma es $2a$, por lo tanto, obtendremos

$(X+3a)(X-a)$

También cuando a es un número que no es $1$, factorizaremos el coeficiente $X$ en dos términos cuyo producto equivalga a $ac$.

Así, por ejemplo:

$2X^2+(2-a)X-a$

y obtendremos:

$2X^2+2X-aX-a$

$2X(X+1)-a(X+1)$

Sacaremos el factor común $X+1$ y obtendremos:

$(X+1)(2X-a)$