Sistema de ecuaciones cuadráticas - Solución algebraica y gráfica

Sistema de ecuaciones cuadráticas

En el sistema de ecuaciones cuadráticas deberemos hallar las $X$ y $Y$ que cumplen con la primera ecuación y también con la segunda. El sistema puede tener una solución, dos soluciones o incluso ninguna. En el concepto de la solución del sistema de ecuaciones destacan los puntos de intersección de la función. En los mismos puntos que encontraremos - las funciones se intersecan. Si se encuentra una solución - las funciones se cortan una sola vez. Si se encuentran dos soluciones - las funciones se cortan dos veces. Si no se encuentra ninguna solución - las funciones no se cortan nunca.

Explicación completa

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Delante de ti hay un rectángulo,

es sabido que $$ x>0 $$

El área del rectángulo es $$ x^2-13 $$

Halla x.

Quiz y otros ejercicios

Solución algebraica

Método: Comparación entre ecuaciones cuadráticas

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones cuadráticas y la $Y$ se aísla de este modo (con el mismo coeficiente en ambas ecuaciones):
$Y=ax^2+bx+c$
$Y=ax^2+bx+c$

Procederemos según el siguiente orden:

Corroboraremos que la incógnita $Y$ esté escrita del mismo modo en las dos ecuaciones
Compararemos las ecuaciones
Despejaremos las $X$ s
Colocaremos paulatinamente $X$ s en una de las ecuaciones para despejar su $Y$
Anotaremos prolijamente las soluciones que hemos encontrado.

Atención - Los otros parámetros no tiene que ser iguales necesariamente. Sólo la $Y$ debe estar aislada del mismo modo para poder equiparar las ecuaciones.

Solución gráfica

La solución del sistema de ecuaciones cuadráticas representa los puntos de intersección de las parábolas. Por lo tanto, podremos ver la solución del sistema de ecuaciones de forma gráfica como los puntos de intersección de las parábolas.

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Comprueba tu conocimiento

Ejercicio 1

Dadas 2 relaciones siguientes entre las variables x y y:

$$ x^2+4=-6y $$

$$ y^2+9=-4x $$

Marca la afirmación correcta:

Ejercicio 2

$\begin{cases} a^2x^3+2abx^2y=-2a(ax+by)\\ a(x+1)=-by \end{cases} \)\( b\neq0 ,\hspace{4pt}a\neq0$

Resuelve las ecuaciones anteriores completando el cuadrado/factorizando:

Asegúrate de explicar los pasos , y muestra tu trabajo: , incluyendo todos los cálculos:

$(a+by)^2(a-by)=\text{?}$

Ejercicio 3

Delante de ti hay un rectángulo,

es sabido que $$ x>0 $$

El área del rectángulo es $$ x^2-13 $$

Halla x.

Si se encuentra una solución - las funciones se cortan una sola vez

Si se encuentran dos soluciones - las funciones se cortan dos veces

¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 1

Dadas 2 relaciones siguientes entre las variables x y y:

$$ x^2+4=-6y $$

$$ y^2+9=-4x $$

Marca la afirmación correcta:

Ejercicio 2

$\begin{cases} a^2x^3+2abx^2y=-2a(ax+by)\\ a(x+1)=-by \end{cases} \)\( b\neq0 ,\hspace{4pt}a\neq0$

Resuelve las ecuaciones anteriores completando el cuadrado/factorizando:

Asegúrate de explicar los pasos , y muestra tu trabajo: , incluyendo todos los cálculos:

$(a+by)^2(a-by)=\text{?}$

Ejercicio 3

Delante de ti hay un rectángulo,

es sabido que $$ x>0 $$

El área del rectángulo es $$ x^2-13 $$

Halla x.

Si no se encuentra ninguna solución - las funciones no se cortan nunca

3a - Si no se encuentra ninguna solución

Veamos un ejemplo

$y=5x^2-2x+6$
$y=-5x^2-2x+6$

Corroboremos que la $Y$ esté realmente aislada del mismo modo.
Comparemos las ecuaciones:
$5x^2-2x+6=-5x^2-2x+6$
Despejemos las $X$ s
$5x^2-2x+6=-5x^2-2x+6$
Hagamos transposición de términos y obtendremos:
$10x^2=0$
$x^2=0$
$x=0$
Hallemos la $Y$ al colocar la $X$ que hemos encontrado en una de las ecuaciones:
$y=5x^2-2x+6$
$y=5*0^2-2*0+6$
$y=6$
Anotemos la solución que hallamos: $(6, 0)$
en este punto se cortan las funciones y esa es la solución del sistema de ecuaciones.