Sistema de ecuaciones cuadráticas - Solución algebraica y gráfica

Sistema de ecuaciones cuadráticas

En el sistema de ecuaciones cuadráticas deberemos hallar las \(X\) y \(Y\) que cumplen con la primera ecuación y también con la segunda. El sistema puede tener una solución, dos soluciones o incluso ninguna. En el concepto de la solución del sistema de ecuaciones destacan los puntos de intersección de la función. En los mismos puntos que encontraremos - las funciones se intersecan. Si se encuentra una solución - las funciones se cortan una sola vez. Si se encuentran dos soluciones - las funciones se cortan dos veces. Si no se encuentra ninguna solución - las funciones no se cortan nunca.

Solución algebraica:

Método: Comparación entre ecuaciones cuadráticas

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones cuadráticas y la \(Y\) se aísla de este modo (con el mismo coeficiente en ambas ecuaciones):
\(Y=ax^2+bx+c\)
\(Y=ax^2+bx+c\)

Procederemos según el siguiente orden:

  1. Corroboraremos que la incógnita \(Y\) esté escrita del mismo modo en las dos ecuaciones
  2. Compararemos las ecuaciones 
  3. Despejaremos las \(X\) s
  4. Colocaremos paulatinamente \(X\) s en una de las ecuaciones para despejar su \(Y\)
  5. Anotaremos prolijamente las soluciones que hemos encontrado

Atención - Los otros parámetros no tiene que ser iguales necesariamente. Sólo la \(Y\) debe estar aislada del mismo modo para poder equiparar las ecuaciones.

Solución gráfica:

La solución del sistema de ecuaciones cuadráticas representa los puntos de intersección de las parábolas. Por lo tanto, podremos ver la solución del sistema de ecuaciones de forma gráfica como los puntos de intersección de las parábolas.

Si se encuentra una solución - las funciones se cortan una sola vez

1- Solución gráfica


Si se encuentran dos soluciones - las funciones se cortan dos veces

2 - Si se encuentran dos soluciones


Si no se encuentra ninguna solución - las funciones no se cortan nunca

3 - Si no se encuentra ninguna solución


Veamos un ejemplo:
\(y=5x^2-2x+6\)
\(y=-5x^2-2x+6\)

  1. Corroboremos que la \(Y\) esté realmente aislada del mismo modo.
  2. Comparemos las ecuaciones:
    \(5x^2-2x+6=-5x^2-2x+6\)
  3. Despejemos las \(X\) s
    \(5x^2-2x+6=-5x^2-2x+6\)
    Hagamos transposición de términos y obtendremos:
    \(10x^2=0\)
    \(x^2=0\)
    \(x=0\)
  4. Hallemos la \(Y\) al colocar la \(X\) que hemos encontrado en una de las ecuaciones:
    \(y=5x^2-2x+6\)
    \(y=5*0^2-2*0+6\)
    \(y=6\)
  5. Anotemos la solución que hallamos: \((6, 0)\)
    en este punto se cortan las funciones y esa es la solución del sistema de ecuaciones.