Principales soluciones de una función cuadrática

$Y=ax^2+bx+c$
Se hallan $2$ números que cumplan con las dos siguientes condiciones:

$número~primero \cdot número~segundo = c \cdot a$
$número~ primero + número~ segundo = b$

¿Qué haremos?
Primeramente anotaremos todo a un costado:

Luego

1. Hallaremos todos los números cuyo producto sea $a\cdot c$ y los anotaremos.
2. Veamos qué par de números entre los que hemos encontrado dará la suma de $b$.
3. Anotemos el par de números que cumple con las $2$ condiciones, de este modo:
   
   $​​​​​​​0=  (x+solución~uno)(x+solución~dos)$
   o con restas.
4. Las $2$  soluciones de la ecuación cuadrática serán las que puedan resolver la ecuación de arriba (invertiremos el signo del par de números que hallamos).

Sugerencia – Conviene utilizar el método del trinomio cuando $a=1$

Para leer y ejercitar más con el trinomio haz clic aquí

¡Ahora practiquemos!
Resuelve la siguiente función cuadrática mediante un trinomio:

Solución:
Primeramente anotaremos todo a un costado:

Hallemos todos los números cuyo producto sea $14$ (y recordemos también a los negativos)
Obtendremos:
$14,1$
$7,2$
$-14, -1$
$-7 ,-2$

Ahora veamos qué par de números dentro de los que hallamos nos dará el total de $-9$

El par de números que cumple con ambas condiciones es $-7 ,-2$

Escribamos la factorización:
$(x-7)(x-2)=0$
Las soluciones:
$X=7$
$X=2$
$x^2-9x+14$

$Y=ax^2+bx+c$

Te presentamos a la fórmula cuadrática:
$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

Todo lo que hay que hacer es ordenar los parámetros de la función cuadrática, colocarlos en la ecuación, una vez con signo de sumar y otra vez con signo de restar, y descubrir las soluciones.

Para más información sobre la fórmula cuadrática haz clic aquí

¡Practiquemos!
Dada la función cuadrática:
$2x^2-3x+1$

Resolvámosla mediante la fórmula cuadrática:
Primero ordenemos los parámetros:
$a=2$
$b=-3$
$c=1$

Ahora, coloquemos en la fórmula cuadrática:
La primera vez con el signo más

$\frac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}=$

$=\frac{3+\sqrt1}4=\frac{4}4=1$

La segunda vez con el signo menos​:

$\frac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}=$

$=\frac{3-\sqrt1}4=\frac{2}4=\frac{1}2$

Hemos obtenido $2$  soluciones –> 
$X=\frac{1}2,1$

Para utilizar el método que pide completar el cuadrado, conviene que primero recordemos algunas de las fórmulas de multiplicación abreviada:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Veamos este tipo de solución en un ejemplo:
Dada la función $4x^2+8x-5$

1. Observemos la función cuadrática y enfoquémonos sólo y únicamente en - $ax^2+bx$.
   Ahora, ignoremos $c$. En el ejemplo, enfoquémonos en -> $4x^2+8x$
2. Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviada y preguntémonos qué expresión podríamos colocar dentro de los paréntesis al cuadrado, es decir, qué $(a-b)^2$ o $(a+b)^2$ según corresponda, que también nos dé lo mismo que se ve en el par enfocado $ax^2+bx$

En el ejemplo
La fórmula de multiplicación abreviada correspondiente es: 
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

Nos preguntaremos, ¿qué podemos poner en lugar de $a$ y $b$ para obtener $4x^2+8x$?
La respuesta es -> $(2x+2)^2$
Desarrollemos esta expresión acorde a la fórmula de multiplicación abreviada y obtendremos:
$4x^2+8x+4$

1. Veamos que, la expresión entre paréntesis también trae consigo algún número y no sólo el par en el cual nos enfocamos, por lo tanto, deberemos neutralizarlo.
   Si el número agregado es negativo, lo añadiremos a la ecuación para anularlo. Si el número es positivo, lo restaremos de la ecuación y, de esta manera, lo anularemos.
   Además, volvamos a $C$  en la función original y también lo escribiremos en la ecuación.
   
   En el ejemplo:
   $4x^2+8x+4$
   Se añadió el número $4$. Para anularlo restaremos $4$ y no nos olvidemos del $C$ original
   $4x^2+8x-4-5=$
    
2. Coloquemos en lugar del par $ax^2+bx$ la expresión correspondiente entre paréntesis al cuadrado que hemos hallado y ordenemos la ecuación - así llegaremos a completar el cuadrado.
   
   En el ejemplo:
   $(2X+2)^2-4-5=$
   $(2x+2)^2-9$

Ahora igualemos la ecuación a cero y solucionemos:
$(2x+2)^2-9=0$

$(2x+2)^2=9$

$(2x+2)^2=3^2$
y también
$(2x+2)^2=(-3)^2$

Solución 1:
$2x+2=3$
$2x=1$
$x=\frac{1}2$

Solución 2: 
$2x+2=-3$
$2x=-5$
$x=-2\frac{1}2$

Para leer más acerca del método que se aplica completando el cuadrado, haz clic aquí