Principales soluciones de una función cuadrática

🏆Ejercicios de solución de ecuación cuadrática

Tipos de solución de la función cuadrática

En este artículo aprenderás las tres formas más comunes para resolver funciones cuadráticas de un modo simple y rápido.

  1. Trinomio
  2. Fórmula cuadrática
  3. Completando el cuadrado

Recuerda:

La ecuación de la función cuadrática básica es:
Y=ax2+bx+cY=ax^2+bx+c

Cuando:
a a   - el coeficiente de X2X^2
b b   - el coeficiente de  XX
cc  - la variable independiente

  • a a   debe ser diferente de 00
  • b b   o cc   pueden ser 00
  • a,b,c a,b,c   pueden ser negativos / positivos
  • La función cuadrática también podría verse así:
    • Y=ax2Y=ax^2
    • Y=ax2+bxY=ax^2+bx
    • Y=ax2+cY=ax^2+c
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einstein

a = Coeficiente de x²

b = Coeficiente de x

c = Coeficiente del número independiente


cuál es el valor de \( a \) en la ecuación

\( y=3x-10+5x^2 \)

Quiz y otros ejercicios

¿Cómo se resuelve la función cuadrática mediante un trinomio?

Y=ax2+bx+cY=ax^2+bx+c
Se hallan 22 números que cumplan con las dos siguientes condiciones:

nuˊmero primeronuˊmero segundo=ca número~primero \cdot número~segundo = c \cdot a
nuˊmero primero+nuˊmero segundo=bnúmero~ primero + número~ segundo = b

¿Qué haremos?
Primeramente anotaremos todo a un costado:

A1 - Cómo se resuelve la función cuadrática mediante un trinomio

Luego

  1. Hallaremos todos los números cuyo producto sea aca\cdot c  y los anotaremos.
  2. Veamos qué par de números entre los que hemos encontrado dará la suma de bb.
  3. Anotemos el par de números que cumple con las 22 condiciones, de este modo:

    ​​​​​​​0= (x+solucioˊn uno)(x+solucioˊn dos)​​​​​​​0=  (x+solución~uno)(x+solución~dos)
    o con restas.
  4. Las 22  soluciones de la ecuación cuadrática serán las que puedan resolver la ecuación de arriba (invertiremos el signo del par de números que hallamos).

Sugerencia – Conviene utilizar el método del trinomio cuando a=1a=1

Para leer y ejercitar más con el trinomio haz clic aquí

¡Ahora practiquemos!
Resuelve la siguiente función cuadrática mediante un trinomio:

Solución:
Primeramente anotaremos todo a un costado:

Resuelve la siguiente función cuadrática mediante un trinomio

Hallemos todos los números cuyo producto sea 1414 (y recordemos también a los negativos)
Obtendremos:
14,114,1
7,27,2
14,1-14, -1
7,2-7 ,-2

Ahora veamos qué par de números dentro de los que hallamos nos dará el total de 9-9

Hallemos todos los números cuyo producto sea 14

El par de números que cumple con ambas condiciones es 7,2-7 ,-2

Escribamos la factorización:
(x7)(x2)=0(x-7)(x-2)=0
Las soluciones:
X=7X=7
X=2X=2
x29x+14x^2-9x+14

¿Cómo se resuelve la función cuadrática mediante la fórmula cuadrática?

Y=ax2+bx+cY=ax^2+bx+c

Te presentamos a la fórmula cuadrática:
x=b±b24ac2ax = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}

Te presentamos a la fórmula cuadrática

Todo lo que hay que hacer es ordenar los parámetros de la función cuadrática, colocarlos en la ecuación, una vez con signo de sumar y otra vez con signo de restar, y descubrir las soluciones.

Para más información sobre la fórmula cuadrática haz clic aquí

¡Practiquemos!
Dada la función cuadrática:
2x23x+12x^2-3x+1

Resolvámosla mediante la fórmula cuadrática:
Primero ordenemos los parámetros:
a=2a=2
b=3b=-3
c=1 c=1 

Ahora, coloquemos en la fórmula cuadrática:
La primera vez con el signo más

(3)+(3)24×2×12×2=\frac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}=

=3+14=44=1=\frac{3+\sqrt1}4=\frac{4}4=1

La segunda vez con el signo menos​:

(3)(3)24×2×12×2=\frac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}=

=314=24=12=\frac{3-\sqrt1}4=\frac{2}4=\frac{1}2

Hemos obtenido 22  soluciones –> 
X=12,1X=\frac{1}2,1

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¿Cómo se resuelve la función cuadrática completando el cuadrado?

Para utilizar el método que pide completar el cuadrado, conviene que primero recordemos algunas de las fórmulas de multiplicación abreviada:

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a22ab+b2=(ab)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

Veamos este tipo de solución en un ejemplo:
Dada la función 4x2+8x54x^2+8x-5

  1. Observemos la función cuadrática y enfoquémonos sólo y únicamente en - ax2+bxax^2+bx.
    Ahora, ignoremos cc. En el ejemplo, enfoquémonos en -> 4x2+8x4x^2+8x
  2. Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviada y preguntémonos qué expresión podríamos colocar dentro de los paréntesis al cuadrado, es decir, qué (ab)2(a-b)^2 o (a+b)2(a+b)^2 según corresponda, que también nos dé lo mismo que se ve en el par enfocado ax2+bxax^2+bx

En el ejemplo
La fórmula de multiplicación abreviada correspondiente es: 
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

Nos preguntaremos, ¿qué podemos poner en lugar de aa y bb para obtener 4x2+8x4x^2+8x?
La respuesta es -> (2x+2)2(2x+2)^2
Desarrollemos esta expresión acorde a la fórmula de multiplicación abreviada y obtendremos:
 4x2+8x+4 4x^2+8x+4

  1. Veamos que, la expresión entre paréntesis también trae consigo algún número y no sólo el par en el cual nos enfocamos, por lo tanto, deberemos neutralizarlo.
    Si el número agregado es negativo, lo añadiremos a la ecuación para anularlo. Si el número es positivo, lo restaremos de la ecuación y, de esta manera, lo anularemos.
    Además, volvamos a CC   en la función original y también lo escribiremos en la ecuación.

    En el ejemplo:
     4x2+8x+4 4x^2+8x+4
    Se añadió el número 44. Para anularlo restaremos 44 y no nos olvidemos del CC original
     4x2+8x45= 4x^2+8x-4-5=
     
  2. Coloquemos en lugar del par ax2+bxax^2+bx la expresión correspondiente entre paréntesis al cuadrado que hemos hallado y ordenemos la ecuación - así llegaremos a completar el cuadrado.

    En el ejemplo:
    (2X+2)245=(2X+2)^2-4-5=
    (2x+2)29(2x+2)^2-9

Ahora igualemos la ecuación a cero y solucionemos:
(2x+2)29=0(2x+2)^2-9=0

(2x+2)2=9(2x+2)^2=9

(2x+2)2=32(2x+2)^2=3^2
y también
(2x+2)2=(3)2(2x+2)^2=(-3)^2

Solución 1:
2x+2=32x+2=3
2x=12x=1
x=12x=\frac{1}2

Solución 2: 
2x+2=32x+2=-3
2x=52x=-5
x=212x=-2\frac{1}2

Para leer más acerca del método que se aplica completando el cuadrado, haz clic aquí


Ejemplos y ejercicios con soluciones de tipos de solución de la función cuadrática

Ejercicio #1

Resuelva la siguiente ecuación

x2+5x+4=0 x^2+5x+4=0

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los parámetros se expresan en la ecuación cuadrática de la siguiente manera:

aX2+bX+c=0

 

Reemplazamos en la fórmula:

 

-5±√(5²-4*1*4) 
          2

 

-5±√(25-16)
         2

 

-5±√9
    2

 

-5±3
   2

 

El signo ± significa que tenemos que resolver esta parte dos veces, una vez con un más y una segunda vez con un menos,

Así es como más tarde obtenemos dos resultados.

 

-5-3 = -8
-8/2 = -4

 

-5+3 = -2
-2/2 = -1

 

Y así descubrimos que X = -1, -4

Respuesta

x1=1 x_1=-1 x2=4 x_2=-4

Ejercicio #2

x2+9=0 x^2+9=0

Resuelva la ecuación

Solución en video

Solución Paso a Paso

Los parámetros se expresan en la ecuación cuadrática de la siguiente manera:

aX2+bX+c=0

 

Identificamos que tenemos:
a=1
b=0
c=9

 

Recordamos la fórmula de las raíces:

נוסחת השורשים | הנוסחה

Reemplazamos de acuerdo a la fórmula:

-0 ± √(0²-4*1*9)

           2

 

Nos enfocaremos en la parte dentro de la raíz cuadrada (también llamada delta)

√(0-4*1*9)

√(0-36)

√-36

 

No es posible sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Y entonces la pregunta es de hecho irresoluble.

Respuesta

No hay solución

Ejercicio #3

a = Coeficiente de x²

b = Coeficiente de x

c = Coeficiente del número independiente


cuál es el valor de a a en la ecuación

y=3x10+5x2 y=3x-10+5x^2

Solución en video

Respuesta

a=5 a=5

Ejercicio #4

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente


x2+4x5=0 x^2+4x-5=0

¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

Solución en video

Respuesta

a=1 a=1 b=4 b=4 c=5 c=-5

Ejercicio #5

a = coeficiente de x²

b = coeficiente de x

c = coeficiente del número independiente


10x2+5+20x=0 10x^2+5+20x=0

¿Cuáles son los componentes de la ecuación?

Solución en video

Respuesta

a=10 a=10 b=20 b=20 c=5 c=5

¿Sabes cuál es la respuesta?
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