Usaremos la definición de Deltoide: 2 triángulos equiláteros con una base común
Por lo tanto: \( AD=AB \), y también \( CD=CB \).
De acuerdo con esto: \( ∢ABD=∢ADB \) Debido a que los ángulos de la base en un triángulo equilátero son iguales
También: \( ∢BDC=∢DBC \) Ángulos base en un triángulo isósceles son iguales
Por lo tanto: \( ∢ABC=∢ADC \) Combinamos ángulos iguales con ángulos iguales para que la suma de los ángulos sea igual (la cantidad total)
Incluso si superpusiéramos los triángulos: \( \triangle ABC \) con \( \triangle ADC \)
Obtendremos:
\( AB=AD \) (dado)
\( BC=DC \) (dado)
\( AC=AC \) (lado común)
Por tanto, podemos concluir :
\( \triangle ABC≅\triangle ADC \) (según el teorema de superposición: lado, lado,lado)
\( ∢ABC=∢ADC \) (Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales)
Como resultado de la superposición, se puede deducir el principio del deltoide:
- La diagonal principal en el deltoide cruza los ángulos, cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella.
\( \triangle ABC≅\triangle ADC \) (según el teorema de superposición: lado, lado, lado) Demostramos
Por lo tanto: \( ∢DAC=∢BAC \)
También: \( ∢BCA=∢DCA \), Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales
- La diagonal principal en el deltoide cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella.
Según los datos: \( AD=AB \) Después de todo, el triángulo \( ADB \) es un triángulo isósceles.
En un triángulo isósceles el ángulo superior es perpendicular a la base y la cruza.
Por lo tanto: \( AC\perp DB \) y también: \( DM=BM \)
A partir de esto, podemos calcular los lados que faltan y los ángulos que faltan en el deltoide dado:
\( ABCD \) es un deltoide,
Encuentre \( X,Y,α,β \) en el deltoide dado
\( X=AB=AC \)
\( X=5\operatorname{cm} \)
Según la definición de deltoide.
\( ∢BAD=α=40° \) La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.
\( ∢ADC=β=50° \) La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.
\( Y=3\operatorname{cm} \), la diagonal principal en el deltoide cruza la diagonal secundaria.
\( 5+5+4+4=18\operatorname{cm} \)
Y el cálculo del área del deltoide se realiza utilizando el producto de las diagonales dividido por dos:
Cálculo de la diagonal secundaria: \( 6cm=3+3=CB \)
Y para calcular la longitud de la diagonal principal \( AC \) usamos el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos formados por las diagonales (según sus propiedades se nos ha demostrado que son perpendiculares entre sí)
Y por lo tanto, en el triángulo \( \triangle ABO \) obtenemos:
\( AO^2+3^2=5^2 \)
\( AO^2+9=25 \)
\( AO^2=16 \) y aplicamos el \( \sqrt{} \)
\( AO=4\operatorname{cm} \)
Y en el triángulo \( \triangle CBO \) obtenemos:
\( CO^2+3^2=4^2 \)
\( 9+CO^2=16 \)
\( CO^2=7 \)
\( 2.645cm=CO \)
Por lo tanto, la longitud de la diagonal principal es igual a:
\( 4+2.645=6.645\operatorname{cm} \)
Podemos calcular el área del deltoide:
\( \frac{6.645\times6}{2}=19.935\operatorname{cm}^2 \)
Ejercicio 1:
En el siguiente ejercicio es necesario conocer el Teorema de Pitágoras
Dado: El deltoide \( ABCD \) \( \left(AB=AC,DC=BD\right) \)
La diagonal del deltoide
Cruza el punto o.
Tarea
Calcular el lado del \( CD \)
Solución:
Dato: Deltoide \( ABCD \)
Dato: Área de \( ABCD=48\operatorname{cm}² \)
Dato: \( OD=4 \)
Dato: \( AO=12 \)
Suma de las partes \( AD=AO+OD \)
Despeje de variables: \( AD=12+4 \)
Cálculo: \( AD=16 \)
Fórmula para calcular el área del deltoide abcd= \( \left(AD\times BC\right):2 \)
Despeje de variables: \( \frac{16\times BC}{2}=48 \)
Cálculo: \( 96=16\times BC \)
\( BC=6\operatorname{cm} \)
En el deltoide, la diagonal principal \( \left(AD\right) \) cruza la diagonal secundaria \( \left(BC\right) \) \( OB=CO \)
Suma de las partes \( BC=CO+OB \)
Despeje de las variables \( \left(OD=AO,AB=6\right) \) \( CO+OB=6 \)
\( CO²=6 \)
\( CO=3 \)
\( AD\perp BC \) En el deltoide las diagonales son perpendiculares entre sí.
Entre las rectas perpendiculares existen ángulos rectos (\( 90° \) grados)
Observemos al triángulo rectángulo \( COD \):
\( CO²+DO²=CD² \) Teorema de Pitágoras
\( CO=3,DO=4 \) Demostración
\( 3²+4²=CD² \) Despeje de variable
\( 9+16=CD² \)
\( CD²=25 \)
\( CD=5\operatorname{cm} \) L.Q.Q.D
\( 4\operatorname{cm}=12,ODcm=AO \), el área del deltoide tiene un valor de \( 48\operatorname{cm}² \)
Respuesta:
\( CD=5\operatorname{cm} \) L.Q.Q.D
Ejercicio 2:
Dado: El deltoide \( ABCD \)
El área del deltoide es igual a \( 6a \)
La diagonal principal es igual a \( 2a+2 \)
La diagonal secundaria es igual \( a:a \)
Tarea
Calcular el valor de: \( a \)
Solución:
Dado el área del deltoide:
\( A=\frac{AC\times DB}{2}=\frac{6a}{1} \)
\( AC=2a+2 \) (Diagonal principal)
\( DB=a \) (Diagonal secundaria)
\( 12a=(2a+2)a \) (Apertura del paréntesis)
\( 2a^2+2a=12a \)
\( 2a^2=10a \) /: (Dividimos a en )
\( 2a=10 \) /: (Dividimos en 2)
\( a=5\operatorname{cm} \)
Respuesta:
\( a=5\operatorname{cm} \)
Ejercicio 3:
Dado un cometa \( ABCD \)
La diagonal \( DB \) es igual a \( 5\operatorname{cm} \).
El lado \( AD \) es igual a \( 4\operatorname{cm} \)
Tarea
¿Es posible calcular el área del deltoide? En ese caso calcular su área.
Solución
Fórmula de cálculo del área del deltoide
\( A=\frac{AC\times DB}{2} \)
Dado que \( DB=5\operatorname{cm} \)
\( AD=4\operatorname{cm} \)
La fórmula no se puede aplicar porque no se da la diagonal \( AC \) y además no hay ningún dato que nos ayude a encontrarlo.
Respuesta
No es posible calcular el área del deltoide
Ejercicio 1:
Dado el deltoide \( ABCD \)
Dado que Área \( ABCD=42\operatorname{cm}² \)
Dado que \( BD=14 \)
Tarea:
Calcular el valor de \( AO \)
Solución:
Dado que \( ABCD \) es un deltoide
El área del deltoide \( ABCD \) es igual a \( 42\operatorname{cm} \)
\( BD=14 \)
La fórmula para calcular el área del deltoide es:
\( \frac{AC\times BD}{2}=\text{ A} \)
\( \frac{AC\times 14}{2}=\text{ 42} \)
\( 84=14\times AC \)
\( AC=6 \)
En el deltoide la diagonal principal cruza a la diagonal secundaria. \( AO=OC \)
\( OC=AO=AC \) (Suma de las partes)
\( OC=AO=AC \) despeje de variables \( \left(AB=6,OC=AO\right) \)
\( AO2=6 \) L.Q.Q.D
\( AO=3\operatorname{cm} \)
Respuesta:
\( AO=3\operatorname{cm} \)
Ejercicio 4:
Dado que el deltoide \( ABCD \) encarcelado dentro de un rectángulo \( KMNG \)
Lado \( AC=8 \)
Altura \( DO \) del triángulo \( ADC \) es igual a \( 3\operatorname{cm} \)
Tarea:
Calcular cuánto vale el área blanca
Solución:
Dado que \( AC=8\operatorname{cm} \)
Dado que \( DO=3\operatorname{cm} \)
Para calcular el área punteada calculamos el área del rectángulo y restamos el área del deltoide.
Empezamos el área del rectángulo:
\( A=\text{ MN}\times KM \)
\( MN=AC=8 \) (en un rectángulo paralelo equilátero)
\( DO=OB=3 \)
(La diagonal principal en un rombo es perpendicular con la diagonal secundaria y la cruza)
Por lo tanto: \( DO+OB=DB=3 \)
DB=KM (Lados paralelos en rectángulo iguales)
Área del rectángulo: \( A\text{ }6\times 8=48cm² \)
Área del deltoide:
\( A=\text{ABCD=}\frac{AC\times DB}{2}=\frac{8\times 6}{2}=24cm \)
A área de rectángulo - A área del deltoide = A área punteada
\( 48-42=24\operatorname{cm}² \)
Respuesta:
La respuesta es. \( 24\operatorname{cm}² \)
Ejercicio 5:
Dado el deltoide cóncavo \( ABCD \)
Dada que la diagonal \( AC \) es igual al \( 75\% \) de la diagonal \( DB \)
El área del deltoide es igual a \( X108\operatorname{cm} \).
Tarea:
Calcular el lado \( DB \)
\( DB=X \)
Solución:
Dado el área del deltoide \( =108X \)
Dado: que \( DB=X \)
Dado:
\( AC=\frac{75\%}{X}=\frac{3}{4}X \)
Esto se debe a que \( AC \) es igual al \( 75\% \) de \( DB \) que es igual a \( \frac{3}{4}deDB \)
Fórmula para calcular el área del deltoide =
\( A=\frac{AC\times DB}{2}=108X \)
\( AC\times DB=216X \)
\( X\times\frac{3}{4}X=216 \)
\( \frac{3}{4}X^2=216 \) /: \( \frac{3}{4} \)
\( X^2=288X \) / :X (dividido por X)
\( X=288 \)
Respuesta:
\( 288\operatorname{cm} \)
