Algunos conceptos básicos del deltoide Diagonal principal: La diagonal que pasa entre los lados idénticos en el deltoide.
Diagonal secundaria: La base común de 2 2 2 triángulos isósceles en el deltoide se llama diagonal secundaria.
Ángulos en el vértice: Los ángulos entre los lados iguales en el deltoide.
Ángulos base: Los ángulos por los que pasa la base común.
Tipos de Deltoide Deltoide convexo Deltoide convexo: Un deltoide con diagonales en el interior (como en las imágenes de los deltoides de arriba)
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Deltoide cóncavo Deltoide cóncavo: Deltoide con una de sus diagonales afuera (como una especie de cuenco).
En muchas ocasiones, al sentarnos en la playa frente al mar observamos una buena cantidad de cometas. ¿Han examinado su forma? Esta es una forma de deltoide. El deltoide tiene una forma un poco complicada. Es un cuadrilátero pero no un cuadrado y tiene una forma similar a un rombo y un paralelogramo , pero sus definiciones son diferentes. En este artículo aprenderemos qué es un deltoide y cómo lo identificamos.
¿Quién más pertenece a la familia del deltoide? Rombo Rombo: Todos los lados son diagonales verticales iguales, diagonales que se cruzan entre sí y que cruzan los ángulos, desde cada lado miramos el cuadrilátero del deltoide. El rombo es en realidad un deltoide equilátero.
¿Sabes cuál es la respuesta?
Cuadrado Cuadrado : El más elaborado del grupo: sus diagonales son perpendiculares y se cruzan; atraviesan los ángulos como en un rombo pero en un cuadrado las longitudes de las diagonales son iguales como en un rectángulo. También desde cada lado que lo miremos notaremos 2 triángulos isósceles con una base común por lo que las características del deltoide también estarán presentes en él. El cuadrado es un deltoide de lados y ángulos iguales (todos los ángulos son rectos).
Y, por supuesto, el propio deltoide:
2 pares de lados adyacentes iguales.
Prueba del deltoide ¿Por qué en el deltoide los ángulos de la base son iguales? Usaremos la definición de Deltoide: 2 triángulos equiláteros con una base común
Por lo tanto: A D = A B AD=AB A D = A B , y también C D = C B CD=CB C D = CB .
De acuerdo con esto: ∢ A B D = ∢ A D B ∢ABD=∢ADB ∢ A B D = ∢ A D B Debido a que los ángulos de la base en un triángulo equilátero son iguales
También: ∢ B D C = ∢ D B C ∢BDC=∢DBC ∢ B D C = ∢ D BC Ángulos base en un triángulo isósceles son iguales
Por lo tanto: ∢ A B C = ∢ A D C ∢ABC=∢ADC ∢ A BC = ∢ A D C Combinamos ángulos iguales con ángulos iguales para que la suma de los ángulos sea igual (la cantidad total)
Incluso si superpusiéramos los triángulos: △ A B C \triangle ABC △ A BC con △ A D C \triangle ADC △ A D C
Obtendremos:
A B = A D AB=AD A B = A D (dado)
B C = D C BC=DC BC = D C (dado)
A C = A C AC=AC A C = A C (lado común)
Por tanto, podemos concluir :
△ A B C ≅ △ A D C \triangle ABC≅\triangle ADC △ A BC ≅ △ A D C (según el teorema de superposición: lado, lado,lado )
∢ A B C = ∢ A D C ∢ABC=∢ADC ∢ A BC = ∢ A D C (Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales)
Como resultado de la superposición, se puede deducir el principio del deltoide:
La diagonal principal en el deltoide cruza los ángulos, cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella. △ A B C ≅ △ A D C \triangle ABC≅\triangle ADC △ A BC ≅ △ A D C (según el teorema de superposición: lado, lado, lado ) Demostramos
Por lo tanto: ∢ D A C = ∢ B A C ∢DAC=∢BAC ∢ D A C = ∢ B A C
También: ∢ B C A = ∢ D C A ∢BCA=∢DCA ∢ BC A = ∢ D C A , Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales
La diagonal principal en el deltoide cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella. Según los datos: A D = A B AD=AB A D = A B Después de todo, el triángulo A D B ADB A D B es un triángulo isósceles.
En un triángulo isósceles el ángulo superior es perpendicular a la base y la cruza.
Por lo tanto: A C ⊥ D B AC\perp DB A C ⊥ D B y también: D M = B M DM=BM D M = BM
A partir de esto, podemos calcular los lados que faltan y los ángulos que faltan en el deltoide dado:
A B C D ABCD A BC D es un deltoide,
Encuentre X , Y , α , β X,Y,α,β X , Y , α , β en el deltoide dado
X = A B = A D X=AB=AD X = A B = A D
X = 5 cm X=5\operatorname{cm} X = 5 cm
Según la definición de deltoide.
∢ B A C = α = 40 ° ∢BAC=α=40° ∢ B A C = α = 40° La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.
∢ A C D = β = 50 ° ∢ACD=β=50° ∢ A C D = β = 50° La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.
Y = 3 cm Y=3\operatorname{cm} Y = 3 cm , la diagonal principal en el deltoide cruza la diagonal secundaria.
Comprueba que lo has entendido
El cálculo del perímetro de un deltoide se realiza sumando todos sus lados: 5 + 5 + 4 + 4 = 18 cm 5+5+4+4=18\operatorname{cm} 5 + 5 + 4 + 4 = 18 cm Y el cálculo del área del deltoide se realiza utilizando el producto de las diagonales dividido por dos: Cálculo de la diagonal secundaria: 6 c m = 3 + 3 = B D 6cm=3+3=BD 6 c m = 3 + 3 = B D
Y para calcular la longitud de la diagonal principal A C AC A C usamos el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos formados por las diagonales (según sus propiedades se nos ha demostrado que son perpendiculares entre sí)
Y por lo tanto, en el triángulo △ A B O \triangle ABO △ A BO obtenemos:
A O 2 + 3 2 = 5 2 AO^2+3^2=5^2 A O 2 + 3 2 = 5 2
A O 2 + 9 = 25 AO^2+9=25 A O 2 + 9 = 25
A O 2 = 16 AO^2=16 A O 2 = 16 y aplicamos el \sqrt{}
A O = 4 cm AO=4\operatorname{cm} A O = 4 cm
Y en el triángulo △ C B O \triangle CBO △ CBO obtenemos:
C O 2 + 3 2 = 4 2 CO^2+3^2=4^2 C O 2 + 3 2 = 4 2
9 + C O 2 = 16 9+CO^2=16 9 + C O 2 = 16
C O 2 = 7 CO^2=7 C O 2 = 7
2.645 c m = C O 2.645cm=CO 2.645 c m = CO
Por lo tanto, la longitud de la diagonal principal es igual a:
4 + 2.645 = 6.645 cm 4+2.645=6.645\operatorname{cm} 4 + 2.645 = 6.645 cm
Podemos calcular el área del deltoide:
6.645 × 6 2 = 19.935 cm 2 \frac{6.645\times6}{2}=19.935\operatorname{cm}^2 2 6.645 × 6 = 19.935 cm 2
Prueba de deltoide: ¿Cuál es la condición necesaria para obtener un deltoide? ¿Cada cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares crea un deltoide?
La respuesta es: no necesariamente
Ver ejemplo:
¿Crees que podrás resolverlo?
Si es así, ¿cuál es la condición adicional para las diagonales verticales que requiere la aceptación de un deltoide? Vamos a comprobar, aquí hay un cuadrilátero donde una diagonal se cruza con la otra y es perpendicular a ella, ¿se aceptará necesariamente qué es un deltoide?
Dado:
D O = B O DO=BO D O = BO
A C ⊥ D B AC\perp DB A C ⊥ D B
¿Es aceptado como un deltoide?
Dado que D O = B O DO=BO D O = BO y también A C ⊥ D B AC\perp DB A C ⊥ D B
Por tanto, se puede concluir que A D = A B AD=AB A D = A B y también D C = B C DC=BC D C = BC (en un triángulo donde la altura es alta es un triángulo isósceles)
De acuerdo a esto, A B C D ABCD A BC D es un deltoide según la definición: 2 triángulos isósceles sobre una base común forman un deltoide .
Otra condición para un cuadrilátero que es un deltoide: una de las diagonales cruza los ángulos Dado:
∢ A 1 = ∢ A 2 , ∢ C 1 = ∢ C 2 ∢A_1=∢A_2,∢C_1=∢C_2 ∢ A 1 = ∢ A 2 , ∢ C 1 = ∢ C 2
Demuestre: A B C D ABCD A BC D es deltoide
Prueba :
∢ A 1 = ∢ A 2 ∢A_1=∢A_2 ∢ A 1 = ∢ A 2 (Dado)
∢ C 1 = ∢ C 2 ∢C_1=∢C_2 ∢ C 1 = ∢ C 2 (Dado)
A C = A C AC=AC A C = A C (lado común)
Por lo tanto:
△ A B C ≅ △ A D C \triangle ABC≅\triangle ADC △ A BC ≅ △ A D C (según el principio de superposición de ángulo, lado, ángulo)
Por lo tanto:
A B = A D AB=AD A B = A D
B C = D C BC=DC BC = D C (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)
Si estás interesado en aprender a calcular áreas de otras formas geométricas puedes ingresar a uno de los siguientes artículos:
En la página web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.
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Ejercicios Ejercicio 1 En el siguiente ejercicio es necesario conocer el Teorema de Pitágoras
Dado: El deltoide A B C D ABCD A BC D ( A B = A D , D C = B C ) \left(AB=AD, DC=BC\right) ( A B = A D , D C = BC )
La diagonal del deltoide
Cruza el punto o.
Tarea
Calcular el lado del C D CD C D
Solución:
Dato: Deltoide A B C D ABCD A BC D
Dato: Área de A B C D = 48 cm 2 ABCD=48\operatorname{cm}² A BC D = 48 cm 2
Dato: O C = 4 OC=4 OC = 4
Dato: A O = 12 AO=12 A O = 12
Suma de las partes A C = A O + O C AC=AO+OC A C = A O + OC
Despeje de variables: A C = 12 + 4 AC=12+4 A C = 12 + 4
Cálculo: A C = 16 AC=16 A C = 16
Fórmula para calcular el área del deltoide abcd= ( A C × B D ) : 2 \left(AC\times BD\right):2 ( A C × B D ) : 2
Despeje de variables: 16 × B D 2 = 48 \frac{16\times BD}{2}=48 2 16 × B D = 48
Cálculo: 96 = 16 × B D 96=16\times BD 96 = 16 × B D
B D = 6 cm BD=6\operatorname{cm} B D = 6 cm
En el deltoide, la diagonal principal ( A C ) \left(AC\right) ( A C ) cruza la diagonal secundaria ( B D ) \left(BD\right) ( B D ) O B = D O OB=DO OB = D O
Suma de las partes B D = D O + O B BD=DO+OB B D = D O + OB
Despeje de las variables D O + O B = 6 DO+OB=6 D O + OB = 6
D O 2 = 6 DO²=6 D O 2 = 6
D O = 3 DO=3 D O = 3
A C ⊥ B D AC\perp BD A C ⊥ B D En el deltoide las diagonales son perpendiculares entre sí.
Entre las rectas perpendiculares existen ángulos rectos (90 ° 90° 90° grados)
Observemos al triángulo rectángulo C O D COD CO D :
D O 2 + C O 2 = C D 2 DO²+CO²=CD² D O 2 + C O 2 = C D 2 Teorema de Pitágoras
D O = 3 , C O = 4 DO=3,CO=4 D O = 3 , CO = 4 Demostración
3 2 + 4 2 = C D 2 3²+4²=CD² 3 2 + 4 2 = C D 2 Despeje de variable
9 + 16 = C D 2 9+16=CD² 9 + 16 = C D 2
C D 2 = 25 CD²=25 C D 2 = 25
C D = 5 cm CD=5\operatorname{cm} C D = 5 cm L.Q.Q.D
Respuesta:
C D = 5 cm CD=5\operatorname{cm} C D = 5 cm
Ejercicio 2 Dado: El deltoide A B C D ABCD A BC D
El área del deltoide es igual a 6 a 6a 6 a
La diagonal principal es igual a 2 a + 2 2a+2 2 a + 2
La diagonal secundaria es igual a : a a:a a : a
Tarea
Calcular el valor de: a a a
Solución:
Dado el área del deltoide:
A = A C × D B 2 = 6 a 1 A=\frac{AC\times DB}{2}=\frac{6a}{1} A = 2 A C × D B = 1 6 a
A C = 2 a + 2 AC=2a+2 A C = 2 a + 2 (Diagonal principal)
D B = a DB=a D B = a (Diagonal secundaria)
12 a = ( 2 a + 2 ) a 12a=(2a+2)a 12 a = ( 2 a + 2 ) a (Apertura del paréntesis)
2 a 2 + 2 a = 12 a 2a^2+2a=12a 2 a 2 + 2 a = 12 a
2 a 2 = 10 a 2a^2=10a 2 a 2 = 10 a /: (Dividimos a en )
2 a = 10 2a=10 2 a = 10 /: (Dividimos en 2)
a = 5 cm a=5\operatorname{cm} a = 5 cm
Respuesta:
a = 5 cm a=5\operatorname{cm} a = 5 cm
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 3 Dado un cometa A B C D ABCD A BC D
La diagonal D B DB D B es igual a 5 cm 5\operatorname{cm} 5 cm .
El lado A D AD A D es igual a 4 cm 4\operatorname{cm} 4 cm
Tarea
¿Es posible calcular el área del deltoide? En ese caso calcular su área.
Solución
Fórmula de cálculo del área del deltoide
A = A C × D B 2 A=\frac{AC\times DB}{2} A = 2 A C × D B
Dado que D B = 5 cm DB=5\operatorname{cm} D B = 5 cm
A D = 4 cm AD=4\operatorname{cm} A D = 4 cm
La fórmula no se puede aplicar porque no se da la diagonal A C AC A C y además no hay ningún dato que nos ayude a encontrarlo.
Respuesta
No es posible calcular el área del deltoide
Ejercicio 4 Dado el deltoide A B C D ABCD A BC D
Dado que Área A B C D = 42 cm 2 ABCD=42\operatorname{cm}² A BC D = 42 cm 2
Dado que B D = 14 BD=14 B D = 14
Tarea:
Calcular el valor de A O AO A O
Solución:
Dado que A B C D ABCD A BC D es un deltoide
El área del deltoide A B C D ABCD A BC D es igual a 42 cm 42\operatorname{cm} 42 cm
B D = 14 BD=14 B D = 14
La fórmula para calcular el área del deltoide es:
A C × B D 2 = A \frac{AC\times BD}{2}=\text{ A} 2 A C × B D = A
A C × 14 2 = 42 \frac{AC\times 14}{2}=\text{ 42} 2 A C × 14 = 42
84 = 14 × A C 84=14\times AC 84 = 14 × A C
A C = 6 AC=6 A C = 6
En el deltoide la diagonal principal cruza a la diagonal secundaria. A O = O C AO=OC A O = OC
O C + A O = A C OC+AO=AC OC + A O = A C (Suma de las partes)
O C + A O = A C OC+AO=AC OC + A O = A C despeje de variables ( A C = 6 , O C = A O ) \left(AC=6,OC=AO\right) ( A C = 6 , OC = A O )
2 A O = 6 2AO=6 2 A O = 6 L.Q.Q.D
A O = 3 cm AO=3\operatorname{cm} A O = 3 cm
Respuesta:
A O = 3 cm AO=3\operatorname{cm} A O = 3 cm
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 5 Dado que el deltoide A B C D ABCD A BC D encarcelado dentro de un rectángulo K M N H KMNH K MN H
Lado A C = 8 AC=8 A C = 8
Altura D O DO D O del triángulo A D C ADC A D C es igual a 3 cm 3\operatorname{cm} 3 cm
Tarea:
Calcular cuánto vale el área blanca
Solución:
Dado que A C = 8 cm AC=8\operatorname{cm} A C = 8 cm
Dado que D O = 3 cm DO=3\operatorname{cm} D O = 3 cm
Para calcular el área punteada calculamos el área del rectángulo y restamos el área del deltoide.
Empezamos el área del rectángulo:
A = MN × K M A=\text{ MN}\times KM A = MN × K M
M N = A C = 8 MN=AC=8 MN = A C = 8 (en un rectángulo paralelo equilátero)
D O = O B = 3 DO=OB=3 D O = OB = 3
(La diagonal principal en un rombo es perpendicular con la diagonal secundaria y la cruza)
Por lo tanto: D O + O B = D B = 6 DO+OB=DB=6 D O + OB = D B = 6
DB=KM (Lados paralelos en rectángulo iguales)
Área del rectángulo: A = 6 × 8 = 48 c m 2 A\text{ }=6\times 8=48cm² A = 6 × 8 = 48 c m 2
Área del deltoide:
A = ABCD= A C × D B 2 = 8 × 6 2 = 24 c m A=\text{ABCD=}\frac{AC\times DB}{2}=\frac{8\times 6}{2}=24cm A = ABCD= 2 A C × D B = 2 8 × 6 = 24 c m
A área de rectángulo - A área del deltoide = A área punteada
48 − 24 = 24 cm 2 48-24=24\operatorname{cm}² 48 − 24 = 24 cm 2
Respuesta:
La respuesta es. 24 cm 2 24\operatorname{cm}² 24 cm 2
Ejercicio 6 Dado el deltoide cóncavo A B C D ABCD A BC D
Dada que la diagonal A C AC A C es igual al 75 % 75\% 75% de la diagonal D B DB D B
El área del deltoide es igual a 108 X cm 108X \operatorname{cm} 108 X cm .
Tarea:
Calcular el lado D B DB D B
D B = X DB=X D B = X
Solución:
Dado el área del deltoide = 108 X =108X = 108 X
Dado: que D B = X DB=X D B = X
Dado:
A C = 75 % X = 3 4 X AC=\frac{75\%}{X}=\frac{3}{4}X A C = X 75% = 4 3 X
Esto se debe a que A C AC A C es igual al 75 % 75\% 75% de D B DB D B que es igual a 3 4 d e D B \frac{3}{4}deDB 4 3 d eD B
Fórmula para calcular el área del deltoide =
A = A C × D B 2 = 108 X A=\frac{AC\times DB}{2}=108X A = 2 A C × D B = 108 X
A C × D B = 216 X AC\times DB=216X A C × D B = 216 X
X × 3 4 X = 216 X X\times\frac{3}{4}X=216X X × 4 3 X = 216 X
3 4 X 2 = 216 X \frac{3}{4}X^2=216X 4 3 X 2 = 216 X : dividimos entre 3 4 \frac{3}{4} 4 3
X 2 = 288 X X^2=288X X 2 = 288 X : (dividido por X)
X = 288 X=288 X = 288
Respuesta:
288 cm 288\operatorname{cm} 288 cm
¿Crees que podrás resolverlo?
Un breve resumen visual del artículo Un breve resumen visual sobre el artículo del deltoide
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ejemplos con soluciones para Deltoide para noveno grado Ejercicio #1 Dado el deltoide ABCD
La diagonal AC=8 es el área del deltoide es 32 cm²
Calcula la diagonal DB
S=32 S=32 S=32 8 8 8 A A A B B B C C C D D D
Solución en video Solución Paso a Paso Primero, recordamos la fórmula del área del deltoide: multiplicar las longitudes de las diagonales entre sí y dividir este producto por 2.
Reemplazamos los datos sabidos en la fórmula:
8 ⋅ D B 2 = 32 \frac{8\cdot DB}{2}=32 2 8 ⋅ D B = 32
Simplificamos el 8 y el 2:
4 D B = 32 4DB=32 4 D B = 32
Dividimos por 4
D B = 8 DB=8 D B = 8
Respuesta Ejercicio #2 Dado el deltoide de la figura:
7 7 7 4 4 4
¿Cuál es el área?
Solución en video Solución Paso a Paso En un principio, recordemos la fórmula del área de un deltoide
D i a g o n a l 1 × D i a g o n a l 2 2 \frac{Diagonal1\times Diagonal2}{2} 2 D ia g o na l 1 × D ia g o na l 2
Ambos datos ya existen, por lo que podemos colocarlos en la fórmula:
(4*7)/2
28/2
14
Respuesta Ejercicio #3 Dado ABCD deltoide AB=BC DC=AD
Las diagonales del deltoide se cortan en el punto 0
Dado BD=14 El área del deloide es 42 cm²
Calcula el lado AO
S=42 S=42 S=42 14 14 14 D D D A A A B B B C C C O O O
Solución en video Solución Paso a Paso Reemplazamos los datos que tenemos en la fórmula del área del deltoide:
Diagonal por diagonal dividida por 2, reemplazamos los datos existentes en la fórmula:
S = A C × B D 2 S=\frac{AC\times BD}{2} S = 2 A C × B D
42 = A C × 14 2 42=\frac{AC\times14}{2} 42 = 2 A C × 14
Multiplicamos por 2 para deshacernos del denominador:
14 A C = 84 14AC=84 14 A C = 84
Dividimos por 14:
A C = 6 AC=6 A C = 6
Prestemos atención que nos preguntaron sobre AO.
Se sabe que en un rombo, la diagonal principal cruza a la segunda diagonal, por lo tanto:
A O = A C 2 = 6 2 = 3 AO=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3 A O = 2 A C = 2 6 = 3
Respuesta Ejercicio #4 Dado el deltoide ABCD
diagonal DB=10
CB=4
¿Es posible calcular el área del deltoide? Si es así, ¿cuál es?
4 4 4 10 10 10 A A A D D D C C C B B B
Solución en video Respuesta Ejercicio #5 Dado el deltoide ABCD
Halla el área
6 6 6 4 4 4 A A A B B B C C C D D D
Solución en video Respuesta