Deltoide

🏆Ejercicios de deltoide para noveno grado

El deltoide y todo lo que necesitas saber para comprobarlo

¿Qué es un deltoide o cometa?

En geometría, un deltoide se define como un cuadrilátero que consta de 2 2 triángulos isósceles que están en una sola base.

Entonces, ¿cuál es la identificación de deltoide en la familia de los cuadriláteros?

Un cuadrilátero que tiene 2 pares de lados adyacentes iguales

Ejemplo:

Si se proporciona : AD=AB,DC=BC AD=AB,DC=BC

Entonces: ABCD ABCD es un deltoide por definición.

  • 2 triángulos isósceles con una base común que forman un deltoide.
  • La suma de los ángulos en el deltoide es 360° 360° grados.
  • Área del deltoide contiene el número de cuadriláteros que cubren las partes de la llanura seleccionada.
  • El perímetro del deltoide Es la longitud del hilo con el que bordeamos el contorno del deltoide y se mide en unidades de longitud de metros o cm.
Deltoide

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Dado el deltoide de la figura:

777444

¿Cuál es el área?

Quiz y otros ejercicios

Algunos conceptos básicos del deltoide

Diagonal principal: La diagonal que pasa entre los lados idénticos en el deltoide.

Diagonal secundaria: La base común de 2 2 triángulos isósceles en el deltoide se llama diagonal secundaria.

Deltoide Diagonal principal Diagonal secun 1

Ángulos en el vértice: Los ángulos entre los lados iguales en el deltoide.

Ángulos base: Los ángulos por los que pasa la base común. 


Tipos de Deltoide

Deltoide convexo

Deltoide convexo: Un deltoide con diagonales en el interior (como en las imágenes de los deltoides de arriba)

Deltoide convexo


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Deltoide cóncavo

Deltoide cóncavo: Deltoide con una de sus diagonales afuera (como una especie de cuenco).    

Deltoide_concavo 1


En muchas ocasiones, al sentarnos en la playa frente al mar observamos una buena cantidad de cometas. ¿Han examinado su forma? Esta es una forma de deltoide. El deltoide tiene una forma un poco complicada. Es un cuadrilátero pero no un cuadrado y tiene una forma similar a un rombo y un paralelogramo, pero sus definiciones son diferentes. En este artículo aprenderemos qué es un deltoide y cómo lo identificamos.

nuevo Deltoide_en_forma_de_cometa


¿Quién más pertenece a la familia del deltoide?

Rombo

Rombo: Todos los lados son diagonales verticales iguales, diagonales que se cruzan entre sí y que cruzan los ángulos, desde cada lado miramos el cuadrilátero del deltoide. El rombo es en realidad un deltoide equilátero.

Deltoide Rombo 1


¿Sabes cuál es la respuesta?

Cuadrado

Cuadrado: El más elaborado del grupo: sus diagonales son perpendiculares y se cruzan; atraviesan los ángulos como en un rombo pero en un cuadrado las longitudes de las diagonales son iguales como en un rectángulo. También desde cada lado que lo miremos notaremos 2 triángulos isósceles con una base común por lo que las características del deltoide también estarán presentes en él. El cuadrado es un deltoide de lados y ángulos iguales (todos los ángulos son rectos).

Deltoide Cuadrado 1


Y, por supuesto, el propio deltoide:

2 pares de lados adyacentes iguales.

Ejemplos de deltoide 1


Prueba del deltoide

¿Por qué en el deltoide los ángulos de la base son iguales?

Usaremos la definición de Deltoide: 2 triángulos equiláteros con una base común

Por lo tanto: AD=AB AD=AB , y también CD=CB CD=CB .

De acuerdo con esto: ABD=ADB ∢ABD=∢ADB Debido a que los ángulos de la base en un triángulo equilátero son iguales

También: BDC=DBC ∢BDC=∢DBC Ángulos base en un triángulo isósceles son iguales

Por lo tanto: ABC=ADC ∢ABC=∢ADC Combinamos ángulos iguales con ángulos iguales para que la suma de los ángulos sea igual (la cantidad total)

Incluso si superpusiéramos los triángulos: ABC \triangle ABC con ADC \triangle ADC

Obtendremos:  

AB=AD AB=AD (dado)

BC=DC BC=DC (dado)

AC=AC AC=AC (lado común)

Por tanto, podemos concluir :

ABCADC \triangle ABC≅\triangle ADC (según el teorema de superposición: lado, lado,lado)

ABC=ADC ∢ABC=∢ADC (Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales)

Practica deltoides parte 2

Como resultado de la superposición, se puede deducir el principio del deltoide:

  • La diagonal principal en el deltoide cruza los ángulos, cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella.

ABCADC \triangle ABC≅\triangle ADC (según el teorema de superposición: lado, lado, lado) Demostramos

Por lo tanto: DAC=BAC ∢DAC=∢BAC

También: BCA=DCA ∢BCA=∢DCA , Ángulos correspondientes en triángulos superpuestos iguales 

  • La diagonal principal en el deltoide cruza una diagonal secundaria y es perpendicular a ella.

Según los datos: AD=AB AD=AB Después de todo, el triángulo ADB ADB es un triángulo isósceles.

En un triángulo isósceles el ángulo superior es perpendicular a la base y la cruza.

Por lo tanto: ACDB AC\perp DB y también: DM=BM DM=BM

A partir de esto, podemos calcular los lados que faltan y los ángulos que faltan en el deltoide dado:


ABCD ABCD es un deltoide,

Encuentre X,Y,α,β X,Y,α,β en el deltoide dado

ABCD es un deltoide

X=AB=AD X=AB=AD

X=5cm X=5\operatorname{cm}

Según la definición de deltoide.

BAC=α=40° ∢BAC=α=40° La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.

ACD=β=50° ∢ACD=β=50° La diagonal principal del deltoide cruza los ángulos.

Y=3cm Y=3\operatorname{cm} , la diagonal principal en el deltoide cruza la diagonal secundaria.


Comprueba que lo has entendido

El cálculo del perímetro de un deltoide se realiza sumando todos sus lados:

5+5+4+4=18cm 5+5+4+4=18\operatorname{cm}

Y el cálculo del área del deltoide se realiza utilizando el producto de las diagonales dividido por dos:

Cálculo de la diagonal secundaria: 6cm=3+3=BD 6cm=3+3=BD

Y para calcular la longitud de la diagonal principal AC AC usamos el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos formados por las diagonales (según sus propiedades se nos ha demostrado que son perpendiculares entre sí)

Y por lo tanto, en el triángulo ABO \triangle ABO obtenemos:

AO2+32=52 AO^2+3^2=5^2

AO2+9=25 AO^2+9=25

AO2=16 AO^2=16 y aplicamos el \sqrt{}

AO=4cm AO=4\operatorname{cm}

Y en el triángulo CBO \triangle CBO obtenemos:

CO2+32=42 CO^2+3^2=4^2

9+CO2=16 9+CO^2=16

CO2=7 CO^2=7

2.645cm=CO 2.645cm=CO

Por lo tanto, la longitud de la diagonal principal es igual a:

4+2.645=6.645cm 4+2.645=6.645\operatorname{cm}

Podemos calcular el área del deltoide:

6.645×62=19.935cm2 \frac{6.645\times6}{2}=19.935\operatorname{cm}^2


Prueba de deltoide: ¿Cuál es la condición necesaria para obtener un deltoide?

¿Cada cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares crea un deltoide?

La respuesta es: no necesariamente

Ver ejemplo:

Este es deltoide Respuesta: no necesariament1


¿Crees que podrás resolverlo?

Si es así, ¿cuál es la condición adicional para las diagonales verticales que requiere la aceptación de un deltoide?

Vamos a comprobar, aquí hay un cuadrilátero donde una diagonal se cruza con la otra y es perpendicular a ella, ¿se aceptará necesariamente qué es un deltoide?

Dado:

DO=BO DO=BO

ACDB AC\perp DB

¿Es aceptado como un deltoide?

¿Es aceptado como un deltoide?

Dado que DO=BO DO=BO y también ACDB AC\perp DB

Por tanto, se puede concluir que AD=AB AD=AB y también DC=BC DC=BC (en un triángulo donde la altura es alta es un triángulo isósceles)

De acuerdo a esto, ABCD ABCD es un deltoide según la definición: 2 triángulos isósceles sobre una base común forman un deltoide.


Otra condición para un cuadrilátero que es un deltoide: una de las diagonales cruza los ángulos

Dado:

A1=A2,C1=C2 ∢A_1=∢A_2,∢C_1=∢C_2

Demuestre: ABCD ABCD es deltoide

ABCD es deltoide original

Prueba :

A1=A2 ∢A_1=∢A_2 (Dado)

C1=C2 ∢C_1=∢C_2 (Dado)

AC=AC AC=AC (lado común)

Por lo tanto:

ABCADC \triangle ABC≅\triangle ADC (según el principio de superposición de ángulo, lado, ángulo)

Por lo tanto:  

AB=AD AB=AD

BC=DC BC=DC (lados correspondientes en triángulos congruentes iguales)


Comprueba tu conocimiento

Ejercicios

Ejercicio 1

En el siguiente ejercicio es necesario conocer el Teorema de Pitágoras

Dado: El deltoide ABCD ABCD (AB=AD,DC=BC) \left(AB=AD, DC=BC\right)

La diagonal del deltoide

Cruza el punto o.

El deltoide ABCD

Tarea

Calcular el lado del CD CD

Solución:

Dato: Deltoide ABCD ABCD

Dato: Área de ABCD=48cm2 ABCD=48\operatorname{cm}²

Dato: OC=4 OC=4

Dato: AO=12 AO=12

Suma de las partes AC=AO+OC AC=AO+OC

Despeje de variables: AC=12+4 AC=12+4

Cálculo: AC=16 AC=16

Fórmula para calcular el área del deltoide abcd= (AC×BD):2 \left(AC\times BD\right):2

Despeje de variables: 16×BD2=48 \frac{16\times BD}{2}=48

Cálculo: 96=16×BD 96=16\times BD

BD=6cm BD=6\operatorname{cm}

En el deltoide, la diagonal principal (AC) \left(AC\right) cruza la diagonal secundaria (BD) \left(BD\right) OB=DO OB=DO

Suma de las partes BD=DO+OB BD=DO+OB

Despeje de las variables DO+OB=6 DO+OB=6

Calcular el lado del CD

DO2=6 DO²=6

DO=3 DO=3

ACBD AC\perp BD En el deltoide las diagonales son perpendiculares entre sí.

Entre las rectas perpendiculares existen ángulos rectos (90° 90° grados)

Observemos al triángulo rectángulo COD COD :

DO2+CO2=CD2 DO²+CO²=CD² Teorema de Pitágoras

DO=3,CO=4 DO=3,CO=4 Demostración

32+42=CD2 3²+4²=CD² Despeje de variable

9+16=CD2 9+16=CD²

CD2=25 CD²=25

CD=5cm CD=5\operatorname{cm} L.Q.Q.D

Respuesta:

CD=5cm CD=5\operatorname{cm}


Ejercicio 2

Dado: El deltoide ABCD ABCD

El área del deltoide es igual a 6a 6a

La diagonal principal es igual a 2a+2 2a+2

La diagonal secundaria es igual a:a a:a

Dado El deltoide ABCD

Tarea

Calcular el valor de: a a

Solución:

Dado el área del deltoide:

A=AC×DB2=6a1 A=\frac{AC\times DB}{2}=\frac{6a}{1}

AC=2a+2 AC=2a+2 (Diagonal principal)

DB=a DB=a (Diagonal secundaria)

12a=(2a+2)a 12a=(2a+2)a (Apertura del paréntesis)

2a2+2a=12a 2a^2+2a=12a

2a2=10a 2a^2=10a /: (Dividimos a en )

2a=10 2a=10 /: (Dividimos en 2)

a=5cm a=5\operatorname{cm}

Respuesta:

a=5cm a=5\operatorname{cm}


¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejercicio 3

Dado un cometa ABCD ABCD

La diagonal DB DB es igual a 5cm 5\operatorname{cm} .

El lado AD AD es igual a 4cm 4\operatorname{cm}

Ejercicio 3 Dado el deltoide ABCD

Tarea

¿Es posible calcular el área del deltoide? En ese caso calcular su área.

Solución

Fórmula de cálculo del área del deltoide

A=AC×DB2 A=\frac{AC\times DB}{2}

Dado que DB=5cm DB=5\operatorname{cm}

AD=4cm AD=4\operatorname{cm}

La fórmula no se puede aplicar porque no se da la diagonal AC AC y además no hay ningún dato que nos ayude a encontrarlo.

Respuesta

No es posible calcular el área del deltoide


Ejercicio 4

Dado el deltoide ABCD ABCD

deltoide ABCD ejercicio 4

Dado que Área ABCD=42cm2 ABCD=42\operatorname{cm}²

Dado que BD=14 BD=14

Tarea:

Calcular el valor de AO AO

Solución:

Dado que ABCD ABCD es un deltoide

El área del deltoide ABCD ABCD es igual a 42cm 42\operatorname{cm}

BD=14 BD=14

La fórmula para calcular el área del deltoide es:

AC×BD2= A \frac{AC\times BD}{2}=\text{ A}

AC×142= 42 \frac{AC\times 14}{2}=\text{ 42}

84=14×AC 84=14\times AC

AC=6 AC=6

En el deltoide la diagonal principal cruza a la diagonal secundaria. AO=OC AO=OC

OC+AO=AC OC+AO=AC (Suma de las partes)

OC+AO=AC OC+AO=AC despeje de variables (AC=6,OC=AO) \left(AC=6,OC=AO\right)

2AO=6 2AO=6 L.Q.Q.D

AO=3cm AO=3\operatorname{cm}

Respuesta:

AO=3cm AO=3\operatorname{cm}


Comprueba que lo has entendido

Ejercicio 5

Dado que el deltoide ABCD ABCD encarcelado dentro de un rectángulo KMNH KMNH

Lado AC=8 AC=8

Altura DO DO del triángulo ADC ADC es igual a 3cm 3\operatorname{cm}

Calcular cuánto vale el área blanca

Tarea:

Calcular cuánto vale el área blanca

Solución:

Dado que AC=8cm AC=8\operatorname{cm}

Dado que DO=3cm DO=3\operatorname{cm}

Para calcular el área punteada calculamos el área del rectángulo y restamos el área del deltoide.

Empezamos el área del rectángulo:

A= MN×KM A=\text{ MN}\times KM

MN=AC=8 MN=AC=8 (en un rectángulo paralelo equilátero)

DO=OB=3 DO=OB=3

(La diagonal principal en un rombo es perpendicular con la diagonal secundaria y la cruza)

Por lo tanto: DO+OB=DB=6 DO+OB=DB=6

DB=KM (Lados paralelos en rectángulo iguales)

Área del rectángulo: A =6×8=48cm2 A\text{ }=6\times 8=48cm²

Área del deltoide:

A=ABCD=AC×DB2=8×62=24cm A=\text{ABCD=}\frac{AC\times DB}{2}=\frac{8\times 6}{2}=24cm

A área de rectángulo - A área del deltoide = A área punteada

4824=24cm2 48-24=24\operatorname{cm}²

Respuesta:

La respuesta es. 24cm2 24\operatorname{cm}²


Ejercicio 6

Dado el deltoide cóncavo ABCD ABCD

Dada que la diagonal AC AC es igual al 75% 75\% de la diagonal DB DB

El área del deltoide es igual a 108Xcm 108X \operatorname{cm} .

Dado el deltoide cóncavo ABCD

Tarea:

Calcular el lado DB DB

DB=X DB=X

Solución:

Dado el área del deltoide =108X =108X

Dado: que DB=X DB=X

Dado:

AC=75%X=34X AC=\frac{75\%}{X}=\frac{3}{4}X

Esto se debe a que AC AC es igual al 75% 75\% de DB DB que es igual a 34deDB \frac{3}{4}deDB

Fórmula para calcular el área del deltoide =

A=AC×DB2=108X A=\frac{AC\times DB}{2}=108X

AC×DB=216X AC\times DB=216X

X×34X=216X X\times\frac{3}{4}X=216X

34X2=216X \frac{3}{4}X^2=216X : dividimos entre 34 \frac{3}{4}

X2=288X X^2=288X : (dividido por X)

X=288 X=288

Respuesta:

288cm 288\operatorname{cm}


¿Crees que podrás resolverlo?

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