Al resolver ejercicios algebraicos, podemos ayudarnos de algunas reglas aritméticas muy útiles. Entre ellas se encuentran, entre otras, la propiedad distributiva, la asociativa y la conmutativa. Estas reglas se aprenden a lo largo de la etapa educativa con distinto grado de complejidad dependiendo del nivel exigido en cada curso. En este artículo nos centraremos en la propiedad distributiva según las exigencias del currículo de 1.º de ESO, estudiaremos qué es y también trataremos brevemente la propiedad asociativa y la conmutativa.

¿Qué es la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva, como su nombre indica, nos permite distribuir, es decir, descomponer un número en dos o más. De este modo, un ejercicio con multiplicación pasa a contener multiplicaciones y sumas (o restas). Gracias a esto podemos trabajar con números más pequeños y así simplificar la operación.

Veamos algunos ejemplos:

  • 6 · 26 = 6 · (20 + 6) = 120 + 36 = 156
  • 7 · 32 = 7 · (30 + 2) = 210 + 14 = 224
  • 104 : 4 = (100 + 4) : 4 = 100 : 4 + 4 : 4 = 25 + 1 = 26

Si observamos los ejercicios de ejemplo, veremos que de hecho hemos descompuesto el número más grande en varios más pequeños.

Por un lado, su valor no se ha alterado matemáticamente, pero, por otro, nos ha permitido simplificar el ejercicio a la hora de calcularlo.

Si quisiéramos expresar la propiedad distributiva de manera general, obtendríamos lo siguiente:

Z · (X + Y) = ZX + ZY

Z · (X - Y) = ZX – ZY

La propiedad distributiva compuesta

La propiedad distributiva compuesta es aquella que contiene la multiplicación de varios miembros entre paréntesis los unos por los otros, a diferencia de la propiedad distributiva simple, que es aquella que contiene la multiplicación de un número por una expresión entre paréntesis.

Veamos algunos ejemplos:

  • (X + 2) · (X + 3) =
    X2+ 3X + 2X + 6 = X2+ 5X + 6
  • (X - 4) · (X +- 3) =
    X2– 3X - 4X + 12 = X2– 7X +12

Ahora explicaremos las operaciones realizadas en cada uno de los ejemplos: lo que hemos hecho ha sido multiplicar uno de los miembros de la expresión entre los primeros paréntesis por los dos miembros incluidos en los segundos paréntesis de manera ordenada, es decir, primero multiplicamos el primer miembro de los primeros paréntesis por el primer miembro de los segundos paréntesis. Después multiplicamos el primer miembro de los primeros paréntesis por el segundo miembro de los segundos paréntesis. A continuación, pasamos al segundo miembro de los primeros paréntesis y lo multiplicamos por el primer miembro de los segundos paréntesis y después por el segundo miembro de los segundos paréntesis. Debemos tener en cuenta los símbolos de suma y resta que procedan, esto es, más por más nos dará un resultado positivo, mientras que más por menos o menos por más nos dará un resultado negativo.

Veamos algunos ejemplos:

  • (Z + T) · (X + Y) = ZX + ZY + TX + TY
  • (Z - T) · (X - Y) = ZX - ZY - TX – TY

La propiedad distributiva se aprende por encima ya en primera. En este nivel se presenta únicamente con números (sin variables de cualquier tipo). Su propósito es enseñarles a los alumnos de primera el concepto de la descomposición de un número en varios mediante la suma o resta para simplificar el cálculo, especialmente cuando el ejercicio encierra números grandes. Por ejemplo:

  • 3 x 102 = 3 x (100 + 2) = 300 + 6 = 306
  • 7 x 96 = 7 x (100 - 4) = 700 - 28 = 672

En primaria, los alumnos ya dominan sumas y restas largas, pero aún no tienen tanta destreza al multiplicar números grandes y la propiedad distributiva les permite resolver estos problemas sin necesidad de emplear la multiplicación.

La propiedad distributiva en la ESO

En 1.º de ESO, la propiedad distributiva sube un nivel y empieza a combinar no solo números, sino también ecuaciones y variables. En este grado, los alumnos toman contacto con el términovariante, así como con las potencias de segundo grado o superiores.Por ejemplo:
  • (X + 5) · (X + 6) =
    X2+ 6X + 5X + 30 = X2+11X + 30
  • (X – 7) · (X – 8) =
    X2– 8X – 7X + 56 = X2-15X +56

Otras reglas

Como ya hemos dicho, existen otras reglas que nos ayudan a simplificar los ejercicios algebraicos. En este apartado veremos brevemente dos de ellas: la propiedad asociativa y la divisibilidad.

La propiedad asociativa

La propiedad asociativa nos permite unir varios miembros sin alterar su resultado final. Esta propiedad solo puede aplicarse en ejercicios que contienen sumas y multiplicaciones, ya que solo en estos dos casos el resultado final no se verá afectado por la unión de los miembros al incluirlos en paréntesis.

Veamos algunos ejemplos fáciles en los que aplicamos la propiedad asociativa:

La propiedad asociativa

La propiedad asociativa nos permite unir varios miembros sin alterar su resultado final. Esta propiedad solo puede aplicarse en ejercicios que contienen sumas y multiplicaciones, ya que solo en estos dos casos el resultado final no se verá afectado por la unión de los miembros al incluirlos en paréntesis.

Veamos algunos ejemplos fáciles en los que aplicamos la propiedad asociativa:

  • (10 + 2) + 8 =

10 + (2 + 8) = 10 + 2 + 8 = 20

  • 2 · (3 · 6) =
  • (2 · 3) · 6 = 2 · 3 · 6 = 36
Para ampliar conocimientos sobre la propiedad asociativa, puedes leer el artículo específico al respecto: La Propiedad Asociativa.

La propiedad conmutativa

Al igual que la propiedad asociativa, la propiedad conmutativa solo puede aplicarse en ejercicios que contienen sumas y multiplicaciones. Gracias a esta propiedad, conmutamos el orden de las operaciones de multiplicación y suma, algo que no afecta en absoluto al resultado final.

Veamos algunos ejemplos:

  • 2 + 6 = 6 + 2 = 8
  • 3 · 4 = 4 · 3 = 12
Para ampliar conocimientos sobre la propiedad asociativa, puedes leer el artículo específico al respecto: La Propiedad Conmutativa.

Ejercicios de la propiedad distributiva para 1.º de ESO

Ejercicio n.º 1:

Aplica la propiedad distributiva y resuelve estos cinco problemas:

  • 294 : 3 =
  • 105 x 4 =
  • 505 : 5 =
  • 207 x 5 =
  • 168 : 8 =

Soluciones:

  • 294 : 3 = (300 - 6) : 3 = 300 : 3 - 6 : 3 = 100 - 2 = 98
  • 105 x 4 = (100 + 5) x 4 = 100 x 4 + 5 x 4 = 400 + 20 = 420
  • 505 : 5 = (500 + 5) : 5 = 500 : 5 + 5 : 5 = 100 + 1 = 101
  • 207 x 5 = (200 + 7) x 5 = 200 x 5 + 7 x 5 = 1000 + 35 = 1035
  • 168 : 8 = (160 + 8) : 8 = 160 : 8 + 8 : 8 = 20 + 1 = 21

Ejercicio n.º 2:

Se ha dividido a 351 alumnos de un instituto en nueve grupos iguales. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo? Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución:

Comenzamos expresando numéricamente el problema: 351 : 9 = (360 - 9) : 9 = 360 : 9 - 9 : 9 = 40 - 1 = 39

Respuesta: en cada grupo hay 39 alumnos.

Ejercicio n.º 3:

Dani compró 15 cajas. En cada una había 9 caramelos. ¿Cuántos caramelos en total compró Dani? Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución:

Comenzamos expresando numéricamente el problema: 15 x 9 = (10 + 5) x 9 = 10 x 9 + 5 x 9 = 90 + 45 = 135

Respuesta: Dani compró 135 caramelos.

Ejercicio n.º 4:

Isabel ha empaquetado 246 cuadernos en 6 paquetes iguales. ¿Cuántos cuadernos ha puesto Isabel en cada paquete? Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución:

Comenzamos expresando numéricamente el problema: 246 : 6 = (240 + 6) : 6 = 240 : 6 + 6 : 6 = 40 + 1 = 41

Respuesta: Isabel ha puesto 41 cuadernos en cada paquete.

Ejercicio n.º 5:

Mi madre tenía 894 euros. Repartió el dinero de manera equitativa entre sus tres hijos. ¿Cuánto dinero recibió cada hijo? Aplica la propiedad distributiva para resolver el problema.

Solución:

Comenzamos expresando numéricamente el problema: 894 : 3 = (900 - 6) : 3 = 900 : 3 - 6 : 3 = 300 - 2 = 298

Respuesta: cada hijo recibió 298 euros.

Ejercicios para practicar la propiedad distributiva