Diagonales de un trapecio isósceles

Ven a conocer las 4 propiedades de las diagonales de un trapecio isósceles

La primera propiedad:

Las diagonales de un trapecio isósceles tienen la misma longitud.
Este teorema se cumple también a la inversa, o sea, podemos determinar que cierto trapecio es isósceles si sabemos que sus diagonales son iguales.

Puedes utilizar este teorema en el examen tal como lo ves y no deberás demostrarlo. 

La segunda propiedad:

Dado el trapecio isósceles \( ABCD \) se cumple:

\(⊿ADC=⊿BCD\)

Diagonales de un trapecio isósceles

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen. La podemos demostrar basándonos en teorema de congruencia LLL.

La segunda propiedad:

Dado el trapecio isósceles \( ABCD \) se cumple:

\(⊿ADC=⊿BCD\)

Diagonales de un trapecio isósceles

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen. La podemos demostrar basándonos en teorema de congruencia \( LLL \).

La tercera propiedad:

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, 4 ángulos iguales.
Los marcaremos.

Ángulos de las diagonales de un trapecio isósceles

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen.

La cuarta propiedad:

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, dos triángulos isósceles.
Nos percataremos de que se trata de \(⊿AEB\)  y de \(⊿DEC\).
Marcaremos con color anaranjado los triángulos que se crean a partir de las diagonales y las bases:

Triángulos isósceles en un trapecio

Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen.

Diagonales de un trapecio isósceles

Las diagonales de un trapecio isósceles son muy especiales y tienen 4 propiedades principales que nos ayudarán mucho cuando queramos demostrar cierto argumento en el examen.
Las propiedades de las diagonales son muy lógicas y además, nosotros estamos aquí para ordenar el desorden.

¿Empezamos?


La primera propiedad:

Las diagonales de un trapecio isósceles tienen la misma longitud.
Este teorema se cumple también a la inversa, o sea, podemos determinar que cierto trapecio es isósceles si sabemos que sus diagonales son iguales.
Puedes utilizar este teorema en el examen tal como lo ves y no deberás demostrarlo.

Igualmente, para que recuerdes el teorema por su lógica, conviene que entiendas su razonamiento de base:
Veamos el trapecio \( ABCD \) :

Diagonales de un trapecio isósceles

Los únicos datos que tenemos son:
1) ABCD trapecio
\(AB∥DC\)
\(AD∦BC\)

2)  \(AD=BC\)

Hay que demostrar: \(AC=BD\)

Solución:
Observemos este trapecio.
Dado el trapecio y también que \(AD=BC\).

Es decir, podemos deducir que el trapecio es isósceles.
En el examen ya podrás deducir que \(AC=BD\) ya que las diagonales de un triángulo isósceles tienen la misma longitud.
Pero, para dar un ejemplo, veamos cómo se demuestra este teorema.
Podemos demostrarlo en base a la congruencia de dos triángulos creados por las diagonales:
\( ⊿ADC\) y \(⊿BCD\)

ArgumentoExplicación
\(AD=BC\) (Lado)Dato
\( ∢BCD=∢ADC\)  (Ángulo)ABCD es un trapecio isósceles. En un trapecio isósceles los ángulos base tienen la misma medida.
\(DC=DC\)  (Lado)Un lado compartido es igual a sí mismo
\(⊿ADC=⊿BCD\)Según Lado Ángulo Lado
Por lo tanto- \(AC=BD\)Lados iguales en triángulos congruentes

De hecho, hemos visto que podemos sobreponer los triángulos que se han creado a partir de las diagonales y, de este modo demostrar la primera propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles.

La segunda propiedad:

En el trapecio isósceles \( ABCD \) se cumple:
\(⊿ADC=⊿BCD\)

Diagonales de un trapecio isósceles

Esta propiedad debemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen. Pero, no te preocupes, Podremos hacerlo con suma facilidad y rapidez sobreponiendo los triángulos según LLL .
Observa- Es cierto que hemos demostrado la congruencia de estos triángulos en el primer ejemplo, pero ahora lo haremos basándonos en la primera propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles.
Veamos la demostración:

ArgumentoExplicación
\(AD=BC\) (Lado)Dato - En un trapecio isósceles los lados oblícuos tienen la misma longitud.
\( AC=BD   \) (Lado)ABCD es un trapecio isósceles. En un trapecio isósceles las diagonales son iguales.
\(DC=DC\) (Lado)Un lado compartido es igual a sí mismo
\(⊿ADC=⊿BCD\)Según Lado Lado Lado

La tercera propiedad:

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, 4 ángulos iguales.
También esta propiedad deberemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen para utilizarla.
Sabemos que esta propiedad podría aparentar ser un poco complicada a primera vista, por lo tanto, nos parece muy importante que comiences por observar en la ilustración de qué ángulos estamos hablando:
Marcaremos todos los ángulos que están entre una diagonal y la base, del siguiente modo:

Triángulos isósceles en un trapecio


¡Genial! Ahora que ya sabemos de qué ángulos se trata podemos demostrar que son iguales basándonos en la congruencia de los triángulos que realizamos más arriba. O sea, congruencia entre 
\(.⊿ADC=⊿BCD\)
Observa- Para demostrar esta propiedad deberás saber cuáles son los ángulos correspondientes y cuáles los alternos.
Luego de haber demostrado la congruencia de los triángulos podremos alegar que:

ArgumentoExplicación
\(∢ACD=∢BDC\)Ángulos correspondientes entre triángulos congruentes son equivalentes.
\(∢ACD=∢CAB\)Ángulos alternos entre triángulos congruentes son equivalentes.
\(∢BDC=∢DBA\)Ángulos alternos entre triángulos congruentes son equivalentes.
\(∢ACD=∢BDC=∢CAB=∢DBA\)Relación transitiva

La cuarta y última propiedad:

Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, dos triángulos isósceles.
También esta propiedad deberemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen para utilizarla.
Primeramente veamos de qué triángulos se trata.
Marcaremos con color anaranjado los triángulos que se crean con las diagonales y las bases:

Triángulos isósceles en un trapecio

Observemos que se trata de \(⊿AEB \) y de \(⊿DEC\)

En la propiedad previa hemos demostrado que los ángulos verdes que surgen de las diagonales del trapecio isósceles y las bases son equivalentes.
Nosotros ya sabemos que los lados opuestos a ángulos equivalentes tienen la misma longitud. Por lo tanto, la demostración se verá del siguiente modo:
Luego de que demostremos que los ángulos verdes son equivalentes podremos alegar que:

ArgumentoExplicación
\(∢ACD=∢BDC\)Ángulos correspondientes entre triángulos congruentes son equivalentes. Se comprueba con la tercera propiedad.
Por lo tanto \(ED=EC\)Frente a ángulos equivalentes hay lados equivalentes.
Por lo tanto \(⊿DEC\) isóscelesUn triángulo con lados iguales es equilátero.
\( ∢BAE=∢ABE\)Se comprueba con la tercera propiedad.
Por lo tanto \(AE=BE\)Frente a ángulos equivalentes hay lados equivalentes.
Por lo tanto \(⊿AEB \) isóscelesUn triángulo con lados iguales es equilátero.

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¡Genial! Ahora ya conoces las propiedades importantes de las diagonales de un trapecio isósceles.
Podrás demostrarlas sin ningún problema y utilizarlas como argumentos siempre que debas demostrar algo.