Las diagonales de un trapecio isósceles tienen la misma longitud.
Este teorema se cumple también a la inversa, o sea, podemos determinar que cierto trapecio es isósceles si sabemos que sus diagonales son iguales.
Puedes utilizar este teorema en el examen tal como lo ves y no deberás demostrarlo.
La segunda propiedad:
Dado el trapecio isósceles se cumple:
Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen. La podemos demostrar basándonos en teorema de congruencia LLL.
Dado el trapecio isósceles se cumple:
Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen. La podemos demostrar basándonos en teorema de congruencia .
Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, ángulos iguales.
Los marcaremos.
Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen.
Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, dos triángulos isósceles.
Nos percataremos de que se trata de y de .
Marcaremos con color anaranjado los triángulos que se crean a partir de las diagonales y las bases:
Observa- Deberás demostrar esta propiedad en el examen.
\( ∢D=50° \)
El trapecio isósceles
Cuál es \( ∢B \)?
Las diagonales de un trapecio isósceles son muy especiales y tienen propiedades principales que nos ayudarán mucho cuando queramos demostrar cierto argumento en el examen.
Las propiedades de las diagonales son muy lógicas y además, nosotros estamos aquí para ordenar el desorden.
¿Empezamos?
Las diagonales de un trapecio isósceles tienen la misma longitud.
Este teorema se cumple también a la inversa, o sea, podemos determinar que cierto trapecio es isósceles si sabemos que sus diagonales son iguales.
Puedes utilizar este teorema en el examen tal como lo ves y no deberás demostrarlo.
Igualmente, para que recuerdes el teorema por su lógica, conviene que entiendas su razonamiento de base:
Veamos el trapecio :
Los únicos datos que tenemos son:
1) ABCD trapecio
2)
Hay que demostrar:
Solución:
Observemos este trapecio.
Dado el trapecio y también que .
Es decir, podemos deducir que el trapecio es isósceles.
En el examen ya podrás deducir que ya que las diagonales de un triángulo isósceles tienen la misma longitud.
Pero, para dar un ejemplo, veamos cómo se demuestra este teorema.
Podemos demostrarlo en base a la congruencia de dos triángulos creados por las diagonales:
y
| Argumento | Explicación |
| (Lado) | Dato |
| (Ángulo) | ABCD es un trapecio isósceles. En un trapecio isósceles los ángulos base tienen la misma medida. |
| (Lado) | Un lado compartido es igual a sí mismo |
| Según Lado Ángulo Lado | |
| Por lo tanto- | Lados iguales en triángulos congruentes |
De hecho, hemos visto que podemos sobreponer los triángulos que se han creado a partir de las diagonales y, de este modo demostrar la primera propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles.
Dado: \( ∢A=120° \)
El trapecio isósceles
Halla a: \( ∢C \)
Dado: \( ∢C=2x \)
\( ∢A=120° \)
trapecio isósceles.
Halla a x.
¿En todos los trapecios isósceles las bases son iguales?
En el trapecio isósceles se cumple:
Esta propiedad debemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen. Pero, no te preocupes, Podremos hacerlo con suma facilidad y rapidez sobreponiendo los triángulos según LLL .
Observa: Es cierto que hemos demostrado la congruencia de estos triángulos en el primer ejemplo, pero ahora lo haremos basándonos en la primera propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles.
Veamos la demostración:
| Argumento | Explicación |
| (Lado) | Dato - En un trapecio isósceles los lados oblícuos tienen la misma longitud. |
| (Lado) | ABCD es un trapecio isósceles. En un trapecio isósceles las diagonales son iguales. |
| (Lado) | Un lado compartido es igual a sí mismo |
| Según Lado Lado Lado |
Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, ángulos iguales.
También esta propiedad deberemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen para utilizarla.
Sabemos que esta propiedad podría aparentar ser un poco complicada a primera vista, por lo tanto, nos parece muy importante que comiences por observar en la ilustración de qué ángulos estamos hablando:
Marcaremos todos los ángulos que están entre una diagonal y la base, del siguiente modo:
¡Genial! Ahora que ya sabemos de qué ángulos se trata podemos demostrar que son iguales basándonos en la congruencia de los triángulos que realizamos más arriba. O sea, congruencia entre
Observa- Para demostrar esta propiedad deberás saber cuáles son los ángulos correspondientes y cuáles los alternos.
Luego de haber demostrado la congruencia de los triángulos podremos alegar que:
| Argumento | Explicación |
| Ángulos correspondientes entre triángulos congruentes son equivalentes. | |
| Ángulos alternos entre triángulos congruentes son equivalentes. | |
| Ángulos alternos entre triángulos congruentes son equivalentes. | |
| Relación transitiva |
¿En el trapecio isósceles los dos pares de lados son paralelos?
Dado el polígono en el dibujo
¿Qué tipo es?
Dado: trapecio isósceles.
\( ∢B=3x \)
\( ∢D=x \)
Halla a \( ∢B \)
Las diagonales de un trapecio isósceles crean, junto con las bases, dos triángulos isósceles.
También esta propiedad deberemos volver a demostrarla una y otra vez en el examen para utilizarla.
Primeramente veamos de qué triángulos se trata.
Marcaremos con color anaranjado los triángulos que se crean con las diagonales y las bases:
Observemos que se trata de y de
En la propiedad previa hemos demostrado que los ángulos verdes que surgen de las diagonales del trapecio isósceles y las bases son equivalentes.
Nosotros ya sabemos que los lados opuestos a ángulos equivalentes tienen la misma longitud. Por lo tanto, la demostración se verá del siguiente modo:
Luego de que demostremos que los ángulos verdes son equivalentes podremos alegar que:
| Argumento | Explicación |
| Ángulos correspondientes entre triángulos congruentes son equivalentes. Se comprueba con la tercera propiedad. | |
| Por lo tanto | Frente a ángulos equivalentes hay lados equivalentes. |
| Por lo tanto isósceles | Un triángulo con lados iguales es equilátero. |
| Se comprueba con la tercera propiedad. | |
| Por lo tanto | Frente a ángulos equivalentes hay lados equivalentes. |
| Por lo tanto isósceles | Un triángulo con lados iguales es equilátero. |
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Dado:
trapecio isósceles.
Halla a x.
Dado que el trapecio es isósceles y los ángulos en ambos lados son iguales, se puede argumentar que:
Sabemos que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360 grados.
Por lo tanto podemos crear la fórmula:
Reemplazamos de acuerdo a los datos existentes:
Dividimos las dos secciones por 4:
30°
¿En todos los trapecios isósceles las bases son iguales?
La respuesta es sí, ya que según la ley en todo trapecio isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí.
Verdadero
Dado: trapecio isósceles.
Halla a
Para responder a la pregunta, debemos conocer una regla importante de los trapecios isósceles:
La suma de los ángulos que delimitan cada uno de los lados trapezoidales (no las bases) es igual a 180
Por lo tanto:
∢B+∢D=180
3X+X=180
4X=180
X=45
Es importante recordar que esa aún no es la solución, porque nos pidieron el ángulo B,
Por lo tanto:
3*45 = 135
¡Y esta es la solución!
135°
¿Las diagonales del trapecio necesariamente se cruzan entre sí?
Las diagonales de un trapezoide isósceles son siempre iguales entre sí,
pero no necesariamente se cruzan entre sí.
(Recordatorio, "cruce" significa que se encuentran exactamente en el medio, lo que significa que están cortados en dos partes iguales, dos mitades)
Por ejemplo, se traza el siguiente trapecio ABCD, que es isósceles.
Usando un programa de computadora calculamos el centro de las diagonales,
Y observamos que los puntos centrales no son G, sino los puntos E y F.
Eso significa que las diagonales no se cruzan.
No verdadero
Dado que: el perímetro del trapecio es igual a 22 cm
AB= 7 cm
AC= 3 cm
BD= 3 cm
Halla el tamaño de CD.
Como nos dan el perímetro del trapecio y no la longitud de CD, podemos calcular:
9
¡Genial! Ahora ya conoces las propiedades importantes de las diagonales de un trapecio isósceles.
Podrás demostrarlas sin ningún problema y utilizarlas como argumentos siempre que debas demostrar algo.
En un trapecio isósceles, ¿la suma de los ángulos opuestos siempre será 180°?
¿Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales y se cortan entre sí?
¿Las diagonales del trapecio necesariamente se cruzan entre sí?
