Ángulos opuestos por el vértice

🏆Ejercicios de ángulos rectos paralelos

¿Qué son los ángulos opuestos por el vértice?

Antes de profundizar en el tema de los ángulos opuestos por el vértice, nos detendremos un poco para visualizar bajo qué tipo de escenario pueden surgir este tipo de ángulos. Para facilitar su comprensión dibujaremos dos líneas rectas paralelas cortadas por una secante o transversal, tal como se ve en la siguiente ilustración: 

Nuevo - Rectas paralelas

¿Qué es lo que vemos aquí? La transversal C C se cruza con cada una de las rectas A A y B B (en nuestro caso A A y B B son paralelas, pero eso no es indispensable para la formación de ángulos opuestos por el vértice). 

Luego, apoyados de este ejemplo gráfico, estamos listos para pasar a la definición formal de los ángulos opuestos por el vértice, que nos ayudará a identificarlos con más facilidad: 

Los ángulos opuestos por el vértice son un par de ángulos que surgen cuando dos rectas se cruzan. Estos ángulos se forman en el punto de intersección (al cuál llamaremos vértice), uno frente al otro. Los ángulos opuestos por el vértice son de idéntico tamaño.

En la siguiente ilustración podemos ver dos ejemplos de ángulos opuestos por el vértice, el primer par de ángulos opuestos por el vértice están marcados de color rojo y en el segundo par de color azul.

1a- Ángulos opuestos por el vértice

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a es paralela a b

Determina cuál de las afirmaciones es correcta.

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Quiz y otros ejercicios

Más tipos de ángulos

Los ángulos opuestos por el vértice no son los únicos tipos de ángulos que podemos encontrar en diversos problemas geométricos. La ilustración descrita en la introducción convoca la aparición de varios tipos de ángulos que mencionaremos brevemente a continuación:

Ángulos correspondientes

Se les puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos correspondientes». 

nuevo - Angulos correspondientes

Ángulos alternos

Se les puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en lados opuestos de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos alternos son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos alternos». 

1a- Ángulos alternos

Ángulos colaterales

Se les puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. La suma de los ángulos colaterales equivale a 180º 180º

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos colaterales». 

Angulos_colaterales

Problemas de ejercitación con ángulos opuestos por el vértice

Ejercicio 1:

En cada uno de los siguientes esquemas determina si los ángulos ilustrados son ángulos opuestos por el vértice y de no tener este tipo de ángulos especifica el tipo de ángulo del que se trata. 

Esquema 1:

imagen 1 nuevo

Esquema 2:

imagen 2 nuevo

Esquema 3:

imagen 3 nuevo

Solución: 

Esquema 1:

En este esquema si se trata de ángulos opuestos por el vértice. La explicación es que responden al criterio de formación de dichos ángulos, es decir, dos rectas se cruzan y los ángulos opuestos por el vértice se forman en el punto de intersección, uno frente al otro.

Esquema 2:

En este esquema no se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos correspondientes. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. 

Esquema 3:

En este esquema tampoco se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos colaterales. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen.

Entonces:

Esquema 1: ángulos opuestos por el vértice

Esquema 2: ángulos correspondientes

Esquema 3: ángulos colaterales


Ejercicio 2:

Dado el paralelogramo ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema

Dado el paralelogramo ABCD ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto K K es el punto de encuentro entre las diagonales en el paralelogramo ABCD ABCD

El ángulo AKD AKD mide 30º 30º

El ángulo KBC KBC mide 50º 50º . En base a la información dada hay que calcular el ángulo BCK BCK

Solución:

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo AKDK1 AKD K1 (mide 30º 30º )

Nombraremos al ángulo BKCK2 BKC K2

Nombraremos al ángulo KBCB1 KBC B1 (mide 50º 50º )

Nombraremos al ángulo BCKC1 BCK C1 (el ángulo buscado)

Primero, nos enfocaremos en el triángulo BCK BCK ya que el ángulo C1 C1 está en él. 

Nos basaremos en lo que ya sabemos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º 180º . El ángulo B1 B1 mide 50º 50º por la información proporcionada. O sea, si pudiéramos encontrar la medida del ángulo K2 K2 , entonces podríamos calcular la del ángulo C1 C1

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto K K es la intersección de las diagonales AC AC y BD BD en el paralelogramo ABCD ABCD . Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice K1 K1 y K2 K2 . Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, entonces k1=k2=30º k1 = k2 = 30º .

Ahora podemos volver al triángulo BCK BCK y calcular el ángulo C1 C1 :

C1=180ºB1K2=180º50º30º=100º C1 = 180º − B1 − K2 = 180º − 50º − 30º = 100º

Es decir, el ángulo C1 C1 , que de hecho es el ángulo buscado BCK BCK mide 100º 100º

Entonces: 

El ángulo BCK BCK mide 100º 100º .


Ejercicio 3:

Dado el trapecio isósceles ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema

Dado el trapecio isósceles ABCD ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto M M es el punto de encuentro entre las diagonales del trapecio ABCD ABCD

Ocurre que: MA=MB MA = MB

El ángulo DMC DMC mide 120º 120º

Con base en la información dada, calcular los ángulos del triángulo ABM ABM .

Solución: 

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo DMCM1 DMC \: M1 (mide 120º 120º )

Nombraremos al ángulo AMBM2 AMB \: M2 (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo MABA1 MAB \: A1 (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo ABMB1 ABM \: B1 (ángulo buscado)

Nos enfocaremos en el triángulo ABM ya que debemos encontrar sus ángulos. 

Comenzaremos con el ángulo M2 M2 .

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto M M es la intersección de las diagonales AC AC y BD BD en el trapecio ABCD ABCD . Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice M1 M1 y M2 M2 . Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, por lo tanto, M1=M2=120º M1= M2 = 120º .

Ahora pasaremos a otro dato que tenemos, el lado MA=MB MA = MB . Este dato implica que el triángulo ABM ABM es un triángulo isósceles. Nos basaremos en el hecho que, en un triángulo isósceles los dos ángulos base tienen la misma medida.

Es decir, 

A1=B1 A1 = B1

Para descubrir su medida recordemos que, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º 180º y que la medida de M2 M2 ya la conocemos. 

Por lo tanto, el cálculo nos dará:

180º=A1+B1+M2=2A1+120º 180º = A1 + B1 + M2 = 2*A1 + 120º

A1=(180º120º)/2=30º A1 = (180º - 120º) / 2 = 30º

Entonces: 

El ángulo AMB AMB (ángulo M2 M2 ) mide 120º 120º .

El ángulo MAB MAB (ángulo A1 A1 ) mide 30º 30º .

El ángulo ABM ABM (ángulo B1 B1 ) mide 30º 30º .


Ejercicio 4:

Cuál es el valor de X sabiendo que las rectas son paralelas

¿Cuál es el valor de X X sabiendo que las rectas son paralelas?

Solución: 

Los ángulos marcados son ángulos externos a las rectas paralelas. Se puede utilizar nuestro conocimiento sobre los ángulos opuestos por el vértice, los cuales tienen los mismos datos.

Si tomamos uno de los ángulos opuestos por el vértice y el ángulo externo a las rectas paralelas restante vemos que en realidad son ángulos suplementarios y por lo tanto son iguales.

Es decir,

X+70º=2X X + 70º = 2X

70º=2XX 70º = 2X - X

70º=X 70º = X

Entonces: 

Encontramos que el valor de X=70º X = 70º .


Ejercicio 5:

Sabiendo que CE CE es paralela a AD AD , encontrar el valor de X X .

el ángulo  ∡BCE = X  al ser opuesto por el vértice con el ángulo que mide X

Solución: 

Tenemos que el ángulo BCE=X ∡BCE = X al ser opuesto por el vértice con el ángulo que mide X X . Un argumento similar nos lleva a que el ángulo BAD=X10 ∡BAD = X - 10 .

Luego, por un resultado de rectas paralelas tenemos que ABC=BAD+BCE ∡ABC = ∡BAD + ∡BCE , es decir, 3X30=X+(X10) 3X - 30 = X + (X - 10) .

Entonces despejando el valor de X X tendríamos que X=20º X = 20º

Entonces: 

X=20º X = 20º


Preguntas de repaso:

¿Cuáles son los ángulos opuestos por el vértice?

Son ángulos que surgen cuando dos rectas se cruzan, uno frente al otro justo en el punto de intersección.


¿Cuál es la característica principal de los ángulos opuestos por el vértice?

La característica principal es que los ángulos opuestos por el vértice tienen el mismo valor.


¿En un esquema de rectas paralelas cortadas por una transversal, que par de ángulos tienen la misma propiedad de los ángulos opuestos por el vértice, es decir, que sean idénticos?

Los ángulos correspondientes y los ángulos alternos.


Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

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