Ángulos opuestos por el vértice

¿Qué son los ángulos opuestos por el vértice?

Antes de que nos sumerjamos en las profundidades del tema de los ángulos opuestos por el vértice, nos detendremos un poco para analizar datos básicos que nos permitirán entender cómo surge este tipo de ángulos. Para facilitar su comprensión dibujaremos dos líneas rectas cortadas por una secante, tal como se ve en la ilustración: 

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De hecho ¿Qué es lo que vemos aquí? La transversal C se cruza con cada una de las rectas A y B (en nuestro caso A y B son paralelas, pero eso no es indispensable para la formación de ángulos opuestos por el vértice). 

Ahora, luego de esta introducción explicativa apoyada en un ejemplo gráfico, estamos listos para pasar a la definición formal de los ángulos opuestos por el vértice, que nos ayudará a identificarlos con más facilidad: 

Los ángulos opuestos por el vértice son los que surgen cuando dos rectas se cruzan. Estos ángulos se forman en el punto de intersección, uno frente al otro. Los ángulos opuestos por el vértice son de idéntico tamaño. 

En la siguiente ilustración podemos ver dos ejemplos de ángulos opuestos por el vértice, en el primero (superior) están marcados de rojo y en el segundo (inferior) de azul. 

Angulos opuestos por el vertice

Se nos ofrecen más ángulos en el menú

Los ángulos opuestos por el vértice no son los únicos del menú. El grupo descrito en la introducción convoca la aparición de varios tipos de ángulos que mencionaremos brevemente a continuación: 

Ángulos correspondientes

Se los puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos correspondientes». 

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Ángulos alternos

Se los puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el lado opuesto de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos alternos son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos alternos». 

Angulos_alternos

Ángulos colaterales

Se los puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. La suma de los ángulos colaterales equivale a 180 grados. 

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos colaterales». 

Angulos_colaterales

Ejemplos y ejercitación con ángulos opuestos por el vértice

Ejercicio 1:

Esquema 1:

imagen 1 nuevo

Esquema 2:

imagen 2 nuevo

Esquema 3:

imagen 3 nuevo

En cada esquema determina si los ángulos ilustrados son ángulos opuestos por el vértice. Explica cada respuesta y, si es posible, especifica el tipo de ángulo ilustrado en cada esquema. 

Solución: 

Esquema 1:

En este esquema realmente se trata de ángulos opuestos por el vértice. La explicación es que responden al criterio de formación de dichos ángulos, es decir, dos rectas se cruzan y los ángulos opuestos por el vértice se forman en el punto de intersección, uno frente al otro. 

Esquema 2:

En este esquema no se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos correspondientes. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. 

Esquema 3:

En este esquema no se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos colaterales. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen.

Entonces:

Esquema 1: ángulos opuestos por el vértice

Esquema 2: ángulos correspondientes

Esquema 3: ángulos colaterales


Ejercicio 2:

Dado el paralelogramo ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema

Dado el paralelogramo ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto K es el punto de encuentro entre las diagonales en el paralelogramo ABCD. 

El ángulo AKD mide 30 grados. 

El ángulo KBC mide 50 grados. En base a la información dada hay que calcular el ángulo BCK. 

Solución:

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo AKD K1 (mide 30 grados)

Nombraremos al ángulo BKC K2

Nombraremos al ángulo KBC B1 (mide 50 grados)

Nombraremos al ángulo BCK C1 (el ángulo buscado)

Primero, nos enfocaremos en el triángulo BCK ya que el ángulo C1 está en él. 

Nos basaremos en lo que ya sabemos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados. El ángulo B1 mide, como ya vimos, 50 grados. O sea, si pudiéramos encontrar la medida del ángulo K2, podremos calcular la del ángulo C1. 

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto K es la intersección de las diagonales AC y BD en el paralelogramo ABCD. Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice K1 y K2. Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, entonces K1=K2= 30 grados.

Ahora podemos volver al triángulo BCK y calcular el ángulo C1:

\( C1=180-B1-K2=180-50-30=100 \)

Es decir, el ángulo C1, que de hecho es el ángulo buscado BCK mide 100 grados. 

Entonces: 

El ángulo BCK mide 100 grados.


Ejercicio 3:

Dado el trapecio isósceles ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema

Dado el trapecio isósceles ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto M es el punto de encuentro entre las diagonales del trapecio ABCD. 

Ocurre que: MA=MB

El ángulo DMC mide 120 grados. 

En base a la información dada hay que calcular los ángulos del triángulo ABM.

Solución: 

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo DMC M1 (mide 120 grados)

Nombraremos al ángulo AMB M2 (ángulo buscado)Nombraremos al ángulo MAB A1 (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo MBA B1 (ángulo buscado)

Nos enfocaremos en el triángulo ABM ya que debemos encontrar sus ángulos. 

Comenzaremos con el ángulo M2. 

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto M es la intersección de las diagonales AC y BD en el trapecio ABCD. Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice M1 y M2. Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, por lo tanto, M1=M2= 120 grados.

Ahora pasaremos a otro dato que tenemos MA = MB. Este dato implica que el triángulo ABM es un triángulo isósceles. Nos basaremos en el hecho que, en un triángulo isósceles los dos ángulos base tienen la misma medida.

Es decir, \( A1=B1 \)

Para descubrir su medida recordaremos que, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados y que la medida de M2 ya la conocemos. 

Por lo tanto, el cálculo nos dará:

\( A1=B1=\frac{180-120}{2}=\frac{60}{2}=30 \)

Entonces: 

El ángulo AMB (ángulo M2) mide 120 grados.

El ángulo MAB (ángulo A1) mide 30 grados.

El ángulo MBA (ángulo B1) mide 30 grados.


Ejercicio 4:

Cuál es el valor de X sabiendo que las rectas son paralelas

¿Cuál es el valor de X sabiendo que las rectas son paralelas?

Solución: 

Los ángulos marcados son ángulos externos a las rectas paralelas. Se puede utilizar nuestro conocimiento sobre los ángulos opuestos por el vértice, todos los ángulos opuestos a un ángulo existente tienen los mismos datos.

Ahora, podemos observar que estos ángulos son en realidad ángulos suplementarios, ángulos suplementarios iguales.

Es decir,

\( X+70=2X \)
\( 70=2X-X \)
\( 70=X \)

Entonces: 

Encontramos el valor de X.


Ejercicio 4:

CE es paralela a AD.

Ejercicio 8 CE es paralela a AD

Solución: 

Opuestos por el vértice: ACE∡ , ∡ICH

\( ∡\text{ACE}=∡\text{ICH}=2X \)

Ángulos alternos: \( ∡DAC,∡ACF \)

\( 2X+∡\text{DAC}=180° \)

\( ∡\text{DAC}=180°-2X \)

\( ∡BAC=∡DAC-∡DAB=180°-2X(X-40°)=190°-3X \)

La suma de los ángulos en el triángulo:

\( ∡ACB+∡\text{CAB}+∡B=180° \)

\( ∡ACB=180°(190°-3X)-(3X)-30°=20° \)

\( ∡ACB=∡BAC \)

\( 20=190-3X \)

Entonces: 

\( 20=190-3X \)


Ejercicio 5:

AB es paralela a CD

Ejercicio 5 AB es paralela a CD

¿Cuál de los triángulos es isósceles?

Solución: 

\( X=α \) Puesto que son opuestos por el vértice.

Es decir

\( ∡\text{ABC } \) Es un triángulo isósceles.

\( BC=AB \)

Porque delante de un ángulo igual hay lados iguales

Entonces: 

\( BC=AB \)