Ángulos opuestos por el vértice

En rasgos generales, los ángulos son parte integral del tratado sobre la solución de muchos problemas de geometría. Estos ángulos suelen formarse entre diversas rectas, algunas paralelas y otras que se cruzan. Nuestra capacidad para diferenciar los diferentes tipos de ángulos nos puede ayudar a resolver la mayoría de los problemas de geometría en todas las etapas del aprendizaje. En esta sección nos enfocaremos principalmente en los ángulos opuestos por el vértice. 

¿Qué son los ángulos opuestos por el vértice?

Antes de que nos sumerjamos en las profundidades del tema de los ángulos opuestos por el vértice, nos detendremos un poco para analizar datos básicos que nos permitirán entender cómo surge este tipo de ángulos. Para facilitar su comprensión dibujaremos dos líneas rectas cortadas por una secante, tal como se ve en la ilustración: 

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De hecho ¿Qué es lo que vemos aquí? La transversal C se cruza con cada una de las rectas A y B (en nuestro caso A y B son paralelas, pero eso no es indispensable para la formación de ángulos opuestos por el vértice). 

Ahora, luego de esta introducción explicativa apoyada en un ejemplo gráfico, estamos listos para pasar a la definición formal de los ángulos opuestos por el vértice, que nos ayudará a identificarlos con más facilidad: 

Los ángulos opuestos por el vértice son los que surgen cuando dos rectas se cruzan. Estos ángulos se forman en el punto de intersección, uno frente al otro. Los ángulos opuestos por el vértice son de idéntico tamaño. 

En la siguiente ilustración podemos ver dos ejemplos de ángulos opuestos por el vértice, en el primero (superior) están marcados de rojo y en el segundo (inferior) de azul. 

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Se nos ofrecen más ángulos en el menú

Los ángulos opuestos por el vértice no son los únicos del menú. El grupo descrito en la introducción convoca la aparición de varios tipos de ángulos que mencionaremos brevemente a continuación: 

Ángulos correspondientes

Se los puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos correspondientes». 

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Ángulos alternos

Se los puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el lado opuesto de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos alternos son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos alternos». 

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Ángulos colaterales

Se los puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. La suma de los ángulos colaterales equivale a 180 grados. 

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos colaterales». 

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Ejemplos y ejercitación con ángulos opuestos por el vértice

Ejercicio No 1:

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En cada esquema determina si los ángulos ilustrados son ángulos opuestos por el vértice. Explica cada respuesta y, si es posible, especifica el tipo de ángulo ilustrado en cada esquema. 

Solución: 

Esquema No 1:

En este esquema realmente se trata de ángulos opuestos por el vértice. La explicación es que responden al criterio de formación de dichos ángulos, es decir, dos rectas se cruzan y los ángulos opuestos por el vértice se forman en el punto de intersección, uno frente al otro. 

Esquema No 2:

En este esquema no se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos correspondientes. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. 

Esquema No 3:

En este esquema no se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos colaterales. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen.

Entonces:

Esquema No 1: ángulos opuestos por el vértice

Esquema No 2: ángulos correspondientes

Esquema No 3: ángulos colaterales

Ejercicio No 2:

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Dado el paralelogramo ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto K es el punto de encuentro entre las diagonales en el paralelogramo ABCD. 

El ángulo AKD mide 30 grados. 

El ángulo KBC mide 50 grados. 

En base a la información dada hay que calcular el ángulo BCK. 

Solución:

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo AKD K1 (mide 30 grados)

Nombraremos al ángulo BKC K2

Nombraremos al ángulo KBC B1 (mide 50 grados)

Nombraremos al ángulo BCK C1 (el ángulo buscado)

Primero, nos enfocaremos en el triángulo BCK ya que el ángulo C1 está en él. 

Nos basaremos en lo que ya sabemos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados. El ángulo B1 mide, como ya vimos, 50 grados. O sea, si pudiéramos encontrar la medida del ángulo K2, podremos calcular la del ángulo C1. 

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto K es la intersección de las diagonales AC y BD en el paralelogramo ABCD. Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice K1 y K2. Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, entonces K1=K2= 30 grados.

Ahora podemos volver al triángulo BCK y calcular el ángulo C1:

C1= 180- B1- K2= 180-50-30= 100.

Es decir, el ángulo C1, que de hecho es el ángulo buscado BCK mide 100 grados. 

Entonces: 

El ángulo BCK mide 100 grados.

Ejercicio No 3:

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Dado el trapecio isósceles ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto M es el punto de encuentro entre las diagonales del trapecio ABCD. 

Ocurre que: MA=MB

El ángulo DMC mide 120 grados. 

En base a la información dada hay que calcular los ángulos del triángulo ABM.

Solución: 

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo DMC M1 (mide 120 grados)

Nombraremos al ángulo AMB M2 (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo MAB A1 (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo MBA B1 (ángulo buscado)

Nos enfocaremos en el triángulo ABM ya que debemos encontrar sus ángulos. 

Comenzaremos con el ángulo M2. 

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto M es la intersección de las diagonales AC y BD en el trapecio ABCD. Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice M1 y M2. Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, por lo tanto, M1=M2= 120 grados.

Ahora pasaremos a otro dato que tenemos MA = MB. Este dato implica que el triángulo ABM es un triángulo isósceles. Nos basaremos en el hecho que, en un triángulo isósceles los dos ángulos base tienen la misma medida.

Es decir, A1=B1. 

Para descubrir su medida recordaremos que, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados y que la medida de M2 ya la conocemos. 

Por lo tanto, el cálculo nos dará:

A1=B1= (180-120)/2= 60/2=30

Entonces: 

El ángulo AMB (ángulo M2) mide 120 grados.

El ángulo MAB (ángulo A1) mide 30 grados.

El ángulo MBA (ángulo B1) mide 30 grados.