Ángulos opuestos por el vértice

¿Qué son los ángulos opuestos por el vértice?

Antes de profundizar en el tema de los ángulos opuestos por el vértice, nos detendremos un poco para visualizar bajo qué tipo de escenario pueden surgir este tipo de ángulos. Para facilitar su comprensión dibujaremos dos líneas rectas paralelas cortadas por una secante o transversal, tal como se ve en la siguiente ilustración: 

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¿Qué es lo que vemos aquí? La transversal \( C \) se cruza con cada una de las rectas \( A \) y \( B \) (en nuestro caso \( A \) y \( B \) son paralelas, pero eso no es indispensable para la formación de ángulos opuestos por el vértice). 

Luego, apoyados de este ejemplo gráfico, estamos listos para pasar a la definición formal de los ángulos opuestos por el vértice, que nos ayudará a identificarlos con más facilidad: 

Los ángulos opuestos por el vértice son un par de ángulos que surgen cuando dos rectas se cruzan. Estos ángulos se forman en el punto de intersección (al cuál llamaremos vértice), uno frente al otro. Los ángulos opuestos por el vértice son de idéntico tamaño.

En la siguiente ilustración podemos ver dos ejemplos de ángulos opuestos por el vértice, el primer par de ángulos opuestos por el vértice están marcados de color rojo y en el segundo par de color azul.

Angulos opuestos por el vertice

Más tipos de ángulos

Los ángulos opuestos por el vértice no son los únicos tipos de ángulos que podemos encontrar en diversos problemas geométricos. La ilustración descrita en la introducción convoca la aparición de varios tipos de ángulos que mencionaremos brevemente a continuación:

Ángulos correspondientes

Se les puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos correspondientes». 

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Ángulos alternos

Se les puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en lados opuestos de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos alternos son de idéntico tamaño.

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos alternos». 

Angulos_alternos

Ángulos colaterales

Se les puede definir como un par de ángulos que podemos encontrar en el mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. La suma de los ángulos colaterales equivale a 180º. 

Si deseas recibir una explicación más amplia puedes consultar el artículo dedicado al tema «Ángulos colaterales». 

Angulos_colaterales

Problemas de ejercitación con ángulos opuestos por el vértice

Ejercicio 1:

En cada uno de los siguientes esquemas determina si los ángulos ilustrados son ángulos opuestos por el vértice y de no tener este tipo de ángulos especifica el tipo de ángulo del que se trata. 

Esquema 1:

imagen 1 nuevo

Esquema 2:

imagen 2 nuevo

Esquema 3:

imagen 3 nuevo

Solución: 

Esquema 1:

En este esquema si se trata de ángulos opuestos por el vértice. La explicación es que responden al criterio de formación de dichos ángulos, es decir, dos rectas se cruzan y los ángulos opuestos por el vértice se forman en el punto de intersección, uno frente al otro.

Esquema 2:

En este esquema no se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos correspondientes. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. 

Esquema 3:

En este esquema tampoco se trata de ángulos opuestos por el vértice, sino de ángulos colaterales. La explicación es que los dos ángulos se encuentran del mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas. Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen.

Entonces:

Esquema 1: ángulos opuestos por el vértice

Esquema 2: ángulos correspondientes

Esquema 3: ángulos colaterales


Ejercicio 2:

Dado el paralelogramo ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema

Dado el paralelogramo \( ABCD \) tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto \( K \) es el punto de encuentro entre las diagonales en el paralelogramo \( ABCD \)

El ángulo \( AKD \) mide \( 30º \)

El ángulo \( KBC \) mide \( 50º \). En base a la información dada hay que calcular el ángulo \( BCK \)

Solución:

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo \( AKD K1 \) (mide \( 30º \))

Nombraremos al ángulo \( BKC K2 \)

Nombraremos al ángulo \( KBC B1 \) (mide \( 50º \))

Nombraremos al ángulo \( BCK C1 \) (el ángulo buscado)

Primero, nos enfocaremos en el triángulo \( BCK \) ya que el ángulo \( C1 \) está en él. 

Nos basaremos en lo que ya sabemos, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a \( 180º \). El ángulo \( B1 \) mide \( 50º \) por la información proporcionada. O sea, si pudiéramos encontrar la medida del ángulo \( K2 \), entonces podríamos calcular la del ángulo \( C1 \)

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto \( K \) es la intersección de las diagonales \( AC \) y \( BD \) en el paralelogramo \( ABCD \). Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice \( K1 \) y \( K2 \). Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, entonces \( k1 = k2 = 30º \).

Ahora podemos volver al triángulo \( BCK \) y calcular el ángulo \( C1 \):

\( C1 = 180º − B1 − K2 = 180º − 50º − 30º = 100º \)

Es decir, el ángulo \( C1 \), que de hecho es el ángulo buscado \( BCK \) mide \( 100º \)

Entonces: 

El ángulo \( BCK \) mide \( 100º \).


Ejercicio 3:

Dado el trapecio isósceles ABCD tal como se ve ilustrado en el esquema

Dado el trapecio isósceles \( ABCD \) tal como se ve ilustrado en el esquema.

El punto \( M \) es el punto de encuentro entre las diagonales del trapecio \( ABCD \)

Ocurre que: \( MA = MB \)

El ángulo \( DMC \) mide \( 120º \)

Con base en la información dada, calcular los ángulos del triángulo \( ABM \).

Solución: 

Antes que nada, para ayudarnos a encontrar la respuesta, marcaremos los ángulos de la siguiente manera:

Nombraremos al ángulo \( DMC \: M1 \) (mide \( 120º \))

Nombraremos al ángulo \( AMB \: M2 \) (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo \( MAB \: A1 \) (ángulo buscado)

Nombraremos al ángulo \( ABM \: B1 \) (ángulo buscado)

Nos enfocaremos en el triángulo ABM ya que debemos encontrar sus ángulos. 

Comenzaremos con el ángulo \( M2 \).

Como se deduce de los datos y del esquema, el punto \( M \) es la intersección de las diagonales \( AC \) y \( BD \) en el trapecio \( ABCD \). Entonces, podemos ver que acorde a su definición, este punto de intersección conforma los ángulos opuestos por el vértice \( M1 \) y \( M2 \). Los ángulos opuestos por el vértice son del mismo tamaño, por lo tanto, \( M1= M2 = 120º \).

Ahora pasaremos a otro dato que tenemos, el lado \( MA = MB \). Este dato implica que el triángulo \( ABM \) es un triángulo isósceles. Nos basaremos en el hecho que, en un triángulo isósceles los dos ángulos base tienen la misma medida.

Es decir, 

\( A1 = B1 \)

Para descubrir su medida recordemos que, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es \( 180º \) y que la medida de \( M2 \) ya la conocemos. 

Por lo tanto, el cálculo nos dará:

\( 180º = A1 + B1 + M2 = 2*A1 + 120º \)

\( A1 = (180º - 120º) / 2 = 30º \)

Entonces: 

El ángulo \( AMB \) (ángulo \( M2 \)) mide \( 120º \).

El ángulo \( MAB \) (ángulo \( A1 \)) mide \( 30º \).

El ángulo \( ABM \) (ángulo \( B1 \)) mide \( 30º \).


Ejercicio 4:

Cuál es el valor de X sabiendo que las rectas son paralelas

¿Cuál es el valor de \( X \) sabiendo que las rectas son paralelas?

Solución: 

Los ángulos marcados son ángulos externos a las rectas paralelas. Se puede utilizar nuestro conocimiento sobre los ángulos opuestos por el vértice, los cuales tienen los mismos datos.

Si tomamos uno de los ángulos opuestos por el vértice y el ángulo externo a las rectas paralelas restante vemos que en realidad son ángulos suplementarios y por lo tanto son iguales.

Es decir,

\( X + 70º = 2X \)

\( 70º = 2X - X \)

\( 70º = X \)

Entonces: 

Encontramos que el valor de \( X = 70º \).


Ejercicio 5:

Sabiendo que \( CE \) es paralela a \( AD \), encontrar el valor de \( X \).

el ángulo  ∡BCE = X  al ser opuesto por el vértice con el ángulo que mide X

Solución: 

Tenemos que el ángulo \( ∡BCE = X \) al ser opuesto por el vértice con el ángulo que mide \( X \). Un argumento similar nos lleva a que el ángulo \( ∡BAD = X - 10 \).

Luego, por un resultado de rectas paralelas tenemos que \( ∡ABC = ∡BAD + ∡BCE \) , es decir, \( 3X - 30 = X + (X - 10) \).

Entonces despejando el valor de \( X \) tendríamos que \( X = 20º \)

Entonces: 

\( X = 20º \)


Preguntas de repaso:

¿Cuáles son los ángulos opuestos por el vértice?

Son ángulos que surgen cuando dos rectas se cruzan, uno frente al otro justo en el punto de intersección.


¿Cuál es la característica principal de los ángulos opuestos por el vértice?

La característica principal es que los ángulos opuestos por el vértice tienen el mismo valor.


¿En un esquema de rectas paralelas cortadas por una transversal, que par de ángulos tienen la misma propiedad de los ángulos opuestos por el vértice, es decir, que sean idénticos?

Los ángulos correspondientes y los ángulos alternos.


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