De paralelogramo a rombo

¿Cómo te darás cuenta de que el paralelogramo que tienes ante ti es un rombo?
Estamos aquí para enseñarte 3 criterios por los cuales podrás demostrar, rápida y simplemente, que tienes un rombo ante ti.

Primero recordemos la definición del rombo.
La definición del rombo dice lo siguiente: es un paralelogramo que tiene un par de lados (o aristas) contiguos que son iguales.

Si el paralelogramo tiene un par de lados contiguos iguales, es un rombo.
Puedes utilizar este teorema para mostrar que se trata de un rombo sin tener que demostrarlo.
Sin embargo, para que entiendas la lógica que lo respalda, nosotros demostraremos dicho teorema a continuación.

Dato:

Paralelogramo $ABCD$
$AB=BC$

Hay que demostrar que: $ABCD$ es un rombo

Solución:
Ya que tenemos que $ABCD$ es un paralelogramo, deduciremos que:

$AB=DC$
$AD=BC$ debido a que, en el paralelogramo, cada par de lados opuestos también son equivalentes.

Observemos nuestro dato $BC=AB$
Ahora, podremos determinar que todos los lados del paralelogramo son equivalentes acorde a la relación transitiva.
Obtendremos:
$AB=DC=BC=AD$

De hecho, $ABCD$  es un cuadrilátero con todos sus lados iguales, por lo tanto, se trata de un rombo.

Si en el paralelogramo las diagonales se bisecan formando ángulos de $90^o$ grados, es decir, son perpendiculares, se trata de un rombo.

Puedes utilizar este teorema para mostrar que se trata de un rombo sin tener que demostrarlo.
Sin embargo, para que entiendas la lógica que lo respalda, nosotros demostraremos dicho teorema a continuación.

Dato:
Paralelogramo $ABCD$
$AC⊥BD$

Hay que demostrar que: $ABCD$ es un rombo

Solución:
En base al primer criterio, ya sabemos que, alcanza con que veamos que en el paralelogramo hay dos lados contiguos equivalentes para que sepamos que se trata de un rombo.
Podemos ver que hay en este paralelogramo un par de lados contiguos equivalentes si usamos la congruencia de triángulos $ABE$ y $BEC$.
Los colocaremos uno encima del otro:
Lado $AE=AE$ lado común, de la misma longitud.
Ángulo $∢AEB=∢BEC$  Estos ángulos miden 90º ya que sabemos que las diagonales que los crean son perpendiculares.
Lado $AE=CE$  en el paralelogramo, las diagonales se intersecan

De esto surge que: $⊿ABE=⊿BEC$ según LAL
Y, por consiguiente,
podremos determinar que: $AB=BC$

Acorde a la congruencia, lados correspondientes son equivalentes.

Notaremos que $AB$ y $BC$ son lados contiguos equivalentes en el paralelogramo y, por lo tanto, podremos determinar que $ABCD$ es un rombo ya que un paralelogramo con un par de lados contiguos equivalentes es un rombo.

Si en el paralelogramo una de las diagonales es la bisectriz - se trata de un rombo.

Puedes utilizar este teorema para mostrar que se trata de un rombo sin tener que demostrarlo.
Sin embargo, para que entiendas la lógica que lo respalda, nosotros demostraremos dicho teorema a continuación.

Dato:
Paralelogramo $ABCD$  
$∢c1=∢c2$

Hay que demostrar que: $ABCD$ es un rombo

Solución:
Volvamos a recordar, un paralelogramo que tiene un par de lados contiguos iguales es un rombo.
Comencemos:
De los datos que tenemos podemos deducir $AB∥DC$ ya que en un paralelogramo, los lados opuestos también son paralelos.
Entonces: $∢BAC=∢C1$ , ángulos alternos entre rectas paralelas son equivalentes.
Según la relación transitiva, $∢BAC=∢C2$ .
Ahora podemos deducir que: $AB=BC$
En el triángulo, frente ángulos equivalentes hay lados iguales entre sí.
Ahora podemos determinar que $ABCD$ es un rombo.
Encontramos en el paralelogramo un par de lados contiguos iguales, por lo tanto, se trata de un rombo.

Sugerencia:
Para recordar los tres teoremas que demuestran que un paralelogramo es un rombo, intenta acordarte de los tres términos clave: lados, diagonales y ángulos.

¡Genial!
Ahora sabes todos los criterios para demostrar que un paralelogramo es un rombo.

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