Trapecio isósceles

El trapecio isósceles es, de hecho, un trapecio (es decir, un polígono de cuatro lados que dos de ellos - las bases - son paralelos), con dos de sus lados equivalentes y con sus ángulos base de igual magnitud.

En el trapecio hay, como es sabido, dos bases y, cada base tiene dos ángulos base adyacentes a ambos lados. En otras palabras, en el trapecio isósceles hay dos juegos de ángulos de base iguales, tal como se puede apreciar en la siguiente ilustración:

Las propiedades detalladas aquí son las características exclusivas de los trapecios isósceles entre todos los demás tipos de trapecios. La siguiente ilustración describe los teoremas de la mejor manera:

• Los lados que no son paralelos son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Es decir, se cumple: $NK=LM$
• En el trapecio isósceles hay dos juegos de ángulos iguales para la base mayor y para la base menor.

Es decir, los ángulos $L$ y $K$ son equivalentes, al igual que los ángulos $M$ y $N$ que también lo son.

• Las dos diagonales del trapecio isósceles son iguales. Es decir, se cumple: $KM=LN$
• Se puede inscribir todo trapecio isósceles en una circunferencia

Para demostrar que un trapecio es isósceles debemos hacer uso de las propiedades especificadas anteriormente, de hecho, se trata de teoremas recíprocos. Es suficiente demostrar sólo una propiedad.

Es decir, si demostramos que:

• Los dos lados que no son paralelos son congruentes

o

• Los ángulos de la base del trapecio son congruentes

o

• Las diagonales del trapecio son congruentes

entonces, dicho trapecio es un trapecio isósceles.

Las siguientes propiedades están referidas a las diagonales del trapecio isósceles. Para remarcar estas propiedades del mejor modo utilizaremos esta ilustración:

• Las dos diagonales son iguales. Es decir, se cumple: $PS=RT$
• Los triángulos $PTS$ y $RST$ son congruentes acorde al teorema de congruencia lado - lado - lado
• Los triángulos $TPR$ y $SRP$ son congruentes acorde al teorema de congruencia lado - lado - lado
• Los triángulos $PKR$ y $TKS$ son triángulos isósceles con todo lo que esto implica
• Los ángulos $P1$, $R1$, $S1$ y $T1$ son equivalentes

El cálculo del área de un trapecio isósceles se hace exactamente del mismo modo que se calcula el área de cualquier otro trapecio.

Es decir, se suman las longitudes de las dos bases, se multiplica el total de la suma por la altura y luego, se divide por $2$.

Utilizaremos esta ilustración para explicar los pasos del cálculo:

La fórmula para calcular el área del trapecio isósceles (no exclusivamente) es:

$A=\frac{ ( AB+ DC) \times H}{2}$

Dado el trapecio isósceles descrito en el siguiente esquema.

Se sabe que, la suma de tres ángulos da $240º$ grados.

Acorde a los datos debemos calcular todos los ángulos de este trapecio isósceles.

Solución:

Si la suma de los tres ángulos del trapecio dado es $240º$ y la suma total de los ángulos de un trapecio (como de todo cuadrilátero) es $360º$, podemos deducir que el cuarto ángulo mide $120º$ grados.

Se trata de uno de los ángulos adyacentes a la base menor, supongamos el ángulo $A$. Ya que se trata de un trapecio isósceles, los ángulos de la base son congruentes, por lo tanto, también el ángulo $B$ mide $120º$.

Recordemos que se trata de un trapecio y que las bases $AB$ y $DC$ son paralelas, es decir, los ángulos $A$ y $D$ (al igual que $B$ y $C$) son ángulos colaterales y, por lo tanto, se complementan y juntos miden $180º$ grados. Por lo tanto, nos dará que los ángulos $C$ y $D$ miden $60º$ grados.

Respuesta:

Los ángulos del trapecio son $120,º 120º, 60º, 60º$

Dado el trapecio isósceles descrito en el siguiente esquema.

Se sabe que, la suma de dos de sus lados da $120º$.

Acorde a los datos debemos calcular todos los ángulos de este trapecio isósceles.

Solución:

Volvamos a las reglas relacionadas con la base y recordemos que se trata de un trapecio y que las bases $AB$ y $DC$ son paralelas, es decir, los ángulos $A$ y $D$ (al igual que $B$ y $C$) son ángulos colaterales y, por lo tanto, se complementan y juntos miden $180º$ grados. Dado que la amplitud que tenemos es $120º$ grados, podemos deducir que no se trata de ángulos adyacentes al mismo lado (o sea, unilaterales), sino de ángulos que comparten la misma base.

Por tratarse de un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes, por consiguiente, cada uno de ellos mide $60º$ grados.

El ángulo complementario (para llegar a $180º$grados) de cada uno de estos ángulos mide $120º$ grados.

Respuesta:

Los ángulos del trapecio son $120º, 120º, 60º, 60º$