Diagonales de un rombo

🏆Ejercicios de diagonales en un rombo

Las diagonales de un rombo tienen 3 propiedades que podemos utilizar sin tener que demostrarlas:

  • Las diagonales de un rombo se cruzan. (no sólo se cruzan, sino que lo hacen justo en el punto medio de cada una).
  • Las diagonales de un rombo son perpendiculares, forman un ángulo de \( 90^o \) grados.
  • Las diagonales de un rombo cruzan los ángulos del rombo.

Las diagonales de un rombo tienen 2 propiedades que deberemos demostrar para utilizarlas:

Otras propiedades:

  • Las longitudes de las diagonales de un rombo no son iguales.

El producto de las diagonales dividido 2 equivale al área del rombo:
\(\frac{producto~las diagonales}{2}=área~rombo\)

1-1 Diagonales de un rombo

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¡Pruébate en diagonales en un rombo!

Dado el rombo:

¿Las diagonales del rombo se cortan entre sí?

Quiz y otros ejercicios

Diagonales de un rombo

Las diagonales de un rombo tienen 3 propiedades que debemos recordar.

Las diagonales de un rombo se cruzan. (no sólo se cruzan, sino que lo hacen justo en el punto medio de cada una).

Diagonales de un rombo

Cuando \(ABCD \) rombo
entonces:
\(AE=CE\)
\(DE=BE \)

Las diagonales de un rombo son perpendiculares, forman un ángulo de \( 90^o \) grados.

Diagonales de un rombo - 90 grados

Cuando \(ABCD \) rombo
entonces:
\(∢AED=∢AEB=∢DEC=∢CEB=90^o \)

Las diagonales de un rombo cruzan los ángulos del rombo.

1-2 Diagonales de un rombo

Cuando \(ABCD \) rombo
entonces:

\(∢A1=∢A2\)
\(∢B1=∢B2 \)
\(∢C1=∢C2 \)
\( ∢D1=∢D2  \)

Observa:
Estas tres declamaciones son propiedades de las diagonales de un rombo que, en caso de que tuvieras un rombo frente a ti, no deberías demostrarlas, sino, simplemente, utilizarlas.
De todos modos, para que entiendas bien la lógica que las respalda, demostraremos las propiedades a continuación.
Veamos el siguiente ejemplo:

Diagonales de un rombo

Dato: \(ABCD \) rombo

Hay que demostrar:
Las diagonales de un rombo se intersecan y también cruzan los ángulos del rombo.
Solución:

Se puede alegar que \(AB∥DC\)  y \(AD∥DC\) por lo tanto, el rombo también es un paralelogramo.

Una de las propiedades del paralelogramo es que sus diagonales se intersecan.
Entonces, ya demostramos la primera propiedad.
Ahora podremos demostrar que todos los triángulos creados a partir de las diagonales son congruentes.
Todos están formados por lados compartidos y por lados iguales del rombo.
Veámoslo claramente en la ilustración:

Una de las propiedades del paralelogramo es que sus diagonales se intersecan

Cada triángulo, compuesto por un lado azul, otro verde y otro rosa, los triángulos son congruentes según el LLL.
Por lo tanto, todos los ángulos correspondientes son iguales.
Los 2 ángulos correspondientes también son adyacentes.
Para que los ángulos sean correspondientes y también iguales deberán ser rectos. Por consiguiente, las diagonales también son perpendiculares – La segunda propiedad.

Además, según la congruencia, podremos alegar que todos los ángulos que son cruzados por las diagonales son equivalentes entre sí y, por eso, determinaremos que las diagonales de un rombo también cortan los ángulos - la tercera propiedad.
Rememoremos, esta demostración es sólo para que podamos entenderlo más profundamente. No deberás demostrar estas tres propiedades de las diagonales.

Ahora pasemos a las propiedades de las diagonales de un rombo que sí deberemos demostrar para poder utilizarlas:

  • Las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes.
  • Las diagonales de un rombo crean ángulos alternos iguales.

Nota que hemos demostrado estas declamaciones en el ejemplo.

Información útil:
¡Podemos deducir el área del rombo en base a sus diagonales!

Multiplicaremos las diagonales, dividiremos por \( 2 \) y obtendremos el área del rombo.
Veámoslo en la fórmula:

\(\frac{producto~las diagonales}{2}=área~rombo\)


Por ejemplo:
Dado un rombo \(ABCD  \)

\(AC=4  \)
y el área del rombo equivale a \(40\)
Hay que hallar:
la longitud de la diagonal  \(DB\)

Dado un rombo ABCD

Solución:

Coloquemos en la fórmula
cuando \(DB=X\)
\(\frac{X\cdot4}{2}=40\)

Multipliquemos en cruzado y nos dará:
\( X\cdot4=80 \)
\(X=20\)

Por lo tanto, la diagonal \(DB\) mide \(20\).

Observa ¡que no se te escape!

Podrías toparte alguna vez con que te pregunten si las diagonales de un rombo tienen la misma longitud.
La respuesta es no.
Las longitudes de las diagonales de un rombo no son iguales.

¡Genial! Ahora ha sabes totalmente todo acerca de las diagonales de un rombo y podrás utilizar alguna de sus propiedades cuando te venga bien.


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