¿Rombo, cometa o diamante?

¿Cómo se llama? ¿Rombo, cometa o diamante? ;)

Entre nosotros... no tiene importancia. Se trata de aquella figura geométrica misteriosa que nos recuerda un diamante precioso o un juego de naipes... La llames como la llames, deberás conocer las propiedades de esta figura y su singularidad para superar ciertas problemáticas geométricas. Así que, comencemos...

El rombo es un polígono de cuatro lados de igual longitud. Si hablamos de la «familia extensa» podemos admitir que un rombo es, de hecho, un caso particular de las figuras deltoide y paralelogramo. Por otro lado, si un cierto rombo se caracteriza por tener también cuatro ángulos equivalentes (es decir, cada uno de 90º) el rombo pasa a ser un cuadrado.

A continuación, se exponen las principales características que describen al rombo. Para poder explicarlas de un modo claro haremos uso de la siguiente ilustración:

• Todos los lados del rombo tienen la misma longitud. Es decir, se cumple $BC=CD=DE=EB$
• Los lados opuestos del rombo son paralelos. Es decir, se cumple : $BC||DE ,EB ||CD$
• Los ángulos opuestos del rombo tienen la misma amplitud. Es decir, se cumple: $\sphericalangle C=\sphericalangle E,\sphericalangle D=B$
• Si se baja altura a cada lado, las cuatro tendrán el mismo largo. En la ilustración se ve una altura sola $H$ que desciende del vértice $B$ al lado $DE$.
• Se puede inscribir un círculo en cualquier rombo.
• En todo rombo hay dos diagonales perpendiculares. Es decir, se cumple: $BD$ es vertical a $CE$.
• El punto de encuentro de las dos diagonales divide a cada diagonal en dos partes iguales. Es decir, se cumple: $BK=KD,=KC=KE$
• Cada diagonal divide los ángulos del rombo en dos ángulos iguales. Es decir, se cumple:  

$\sphericalangle B1=\sphericalangle B2,\sphericalangle C1=\sphericalangle C2,\sphericalangle D1=\sphericalangle D2,\sphericalangle E1=\sphericalangle E2$

Para demostrar que un cuadrilátero es un rombo podemos utilizar el modo directo o indirecto. Si optamos por el modo directo, deberemos demostrar que los cuatro lados de dicho cuadrilátero tienen la misma longitud. Utilizando el modo indirecto debemos demostrar primeramente que el polígono es un paralelogramo. Luego de haber conseguido demostrar que cierto cuadrilátero es un paralelogramo nos quedan tres opciones:

• Demostrar que las diagonales del paralelogramo actúan como bisectrices
• Demostrar que las diagonales del paralelogramo son perpendiculares
• Demostrar que los dos lados contiguos del paralelogramo son equivalentes

Según los datos que haya en el ejercicio podremos elegir el modo más adecuado para actuar y así demostrar que cierto paralelogramo es, de hecho, un rombo.

Hay varias formas de calcular el área de un rombo. En esta sección mencionaremos brevemente dos fórmulas para calcular el área del rombo. Si quieres ampliar los conocimientos al respecto te invitamos a leer el artículo completo sobre el tema del área del rombo.

Para verlo de un modo simple, también en este caso, nos basaremos en la siguiente ilustración:

Modo A: Se multiplican las longitudes de las diagonales y se divide por $2$.

Es decir, se cumple:

$A=\frac{\left(CL\times KM\right)}{2}$

Modo B: Se multiplica uno de los lados por la altura.

Es decir, se cumple:

$A=CT\times ML$

Hemos llegado a la parte más sencilla de todas, que es el cálculo del perímetro de un rombo. Recordemos que, el perímetro de un rombo consiste en la suma de las longitudes de sus lados.

Debido a que los cuatro lados del rombo tienen la misma longitud, nos alcanza con saber sólo la de uno. A continuación, multiplicaremos la longitud de un lado por $4$ y obtendremos el perímetro del rombo.

Dado el rombo $\text{QRST}$ .  

Uno de los ángulos dados Acorde a los datos de la ilustración halla los tres ángulos restantes del rombo.

Solución: 

Enfoquémonos en el dato dado. Sabemos el ángulo del vértice $R$ que equivale a $70^o$

Acorde a lo que sabemos sobre las propiedades del rombo, los ángulos opuestos tienen la misma amplitud, por lo tanto, también el ángulo del vértice $T$ equivaldrá a $70^o$ .

El rombo es un cuadrilátero, por consiguiente, la suma de todos sus ángulos es $360^o$ grados, obtendremos que la suma de los ángulos $S$ y $Q$ es: $220=140-360=360-70\times2$ .

Recordemos nuevamente que, los ángulos opuestos del rombo tienen la misma amplitud. De esto deriva que, cada uno de los ángulos de los vértices restantes, $Q$ y $S$ , medirá $110^o$ .

Respuesta: los ángulos del rombo son $110^o,110^o,70^o,70^o$

Dado el rombo $\text{ABCD}$ .

Acorde a los datos de la ilustración halla el perímetro y el área del rombo.

Solución: 

Primero observaremos el esquema. Conocemos uno de los lados del rombo. Acorde a las propiedades que hemos aprendido, los cuatro ángulos del rombo son equivalentes.

Por lo tanto, se cumple: $AB=BC=CD=DA=5$ .

El perímetro del rombo es la suma de sus cuatro lados, por consiguiente, multiplicaremos $5$ por $4$ y nos dará $20$ cm.

Ahora pasemos a calcular el área del rombo. Para hacerlo elegiremos la primera opción que estudiamos, es decir, multiplicaremos las diagonales y dividiremos por $2$ .

En la ilustración se puede ver que $4=AK$ . Conforme a las propiedades del rombo el punto de intersección de las diagonales del rombo las cruza, por lo cual se llega a que $AC=8$. Sólo nos queda hallar la segunda diagonal.

Recordemos otra característica del rombo: las diagonales del rombo son perpendiculares. Es decir, el triángulo $ABK$ es un triángulo rectángulo al cual es aplicable el teorema de Pitágoras. Basándonos en el teorema de Pitágoras calcularemos $BK$ .

Se cumple:

$BK=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

Nuevamente, las diagonales se intersecan y, por lo tanto: $BD=6$ .

Es decir, se cumple:

$A=\frac{\left(AC\times BD\right)}{2}=\frac{\left(8\times6\right)}{2}=\frac{48}{2}=24$

Respuesta:

El perímetro del rombo es $20$ Cm.

El área del rombo es $24$ Cm.