Del paralelogramo al rectángulo

🏆Ejercicios de de un paralelogramo a un rectángulo

Del paralelogramo al rectángulo

¿Quieres saber cómo probar que el paralelogramo que tienes delante es en realidad un rectángulo?
Primero, debes saber que la definición formal de un rectángulo es un paralelogramo cuyo ángulo es de 90o 90^o grados.
Además, si las diagonales en los paralelogramos son iguales, es un rectángulo.

Es decir, si te dan un paralelogramo, puedes probar que es un rectángulo usando uno de los siguientes teoremas:

  • Si un paralelogramo tiene un ángulo de 90o 90^o grados, es un rectángulo.
  • Si las diagonales son iguales en un paralelogramo, es un rectángulo

Le recordamos brevemente las condiciones para una una comprobación de un paralelogramo:

  1. Si en un cuadrilátero donde cada par de lados opuestos también son paralelos entre sí, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  2. Si en un cuadrilátero donde cada par de lados opuestos también son iguales entre sí, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  3. Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos que son iguales y paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  4. Si en un cuadrilátero las diagonales se cruzan, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  5. Si un cuadrilátero tiene dos pares de ángulos opuestos iguales, el cuadrilátero es un paralelogramo.
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¡Pruébate en de un paralelogramo a un rectángulo!

einstein

AAABBBDDDCCC120°

Este paralelogramo es un rectángulo

Quiz y otros ejercicios

Vamos a demostrar que un paralelogramo es un rectángulo usando el primer teorema

Si un paralelogramo tiene un ángulo de 90o 90^o grados, es un rectángulo.
Nos dan un paralelogramo ABCD ABCD :

Del paralelogramo al rectángulo

Dado que:
B=90∢B=90

Necesitamos demostrar que:
ABCD ABCD es un rectángulo.

Solución:

Sabemos que en un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Por lo tanto podemos afirmar que:
B=D=90∢B=∢D=90
Ahora, podemos afirmar que:
C=18090∢C=180-90
Dado que los ángulos paralelos adyacentes son iguales a 180o 180^o .
Obtenemos que:
C=90∢C=90

Maravilloso. Ahora podemos afirmar que:
A=C=90∢A=∢C=90
Dado que los ángulos opuestos paralelos son iguales.

¡Magnífico! Probamos que todos los ángulos en un paralelogramo son iguales a 90o 90^o grados.
Por lo tanto, podemos determinar que el paralelogramo es un rectángulo.

Recuerda, la definición formal del rectángulo es un paralelogramo donde tiene un ángulo de 90o 90^o grados.
Por lo tanto, no tendremos que demostrar que todos los ángulos son iguales a 90o 90^o .


Ahora, vamos a demostrar que un paralelogramo es un rectángulo usando el segundo teorema:

Si las diagonales son iguales en un paralelogramo, es un rectángulo.
Nos dan un paralelogramo ABCD ABCD :

2 - Paralelogramo

y tiene diagonales iguales:
AC=BDAC=BD

Es necesario probar que: ABCD ABCD  es un rectángulo.

Solución:
Sabemos que en el paralelogramo las diagonales se cruzan.
Por lo tanto podemos determinar que:
AE=CEAE=CE
BE=DEBE=DE

También sabemos por los datos de la consigna que: AC=BDAC=BD
Por lo tanto, podemos afirmar que todas las mitades son iguales.
¿Por qué?
Podemos escribir que:
AE=CE=AC2AE=CE=\frac{AC}{2}

BE=DE=BD2BE=DE=\frac{BD}{2}

Puesto que:
AC=BDAC=BD
podemos comparar 
AC2=BD2\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}
Y de acuerdo a la regla de transición obtendremos:

AE=CE=BE=DEAE=CE=BE=DE

Como todos estos segmentos son iguales, se crean triángulos isósceles.

Identificaremos los ángulos iguales en el dibujo:

Paralelogramo

Lados iguales opuestos, los ángulos son iguales.
Además, en un paralelogramo, los lados opuestos son paralelos
y los ángulos alternos entre líneas paralelas son iguales.

Maravilloso.
Ahora, recuerda que en un cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a 360o 360^o .
Por lo tanto:
α+β+α+β+α+β+α+β=360α+β+α+β+α+β+α+β=360
4α+4β=3604α+4β=360
dividimos por 4 4 y obtenemos:
α+β=90α+β=90

Tenga en cuenta que cada uno de nuestros ángulos paralelos consta de α+β α+β y, por lo tanto, cada ángulo paralelo es igual a 90o 90^o grados.
Por lo tanto, el paralelogramo que tenemos delante es un rectángulo, ya que un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo de 90o 90^o grados.


Ejemplos y ejercicios con soluciones del paralelogramo al rectángulo

Ejercicio #1

AAABBBDDDCCC120°

Este paralelogramo es un rectángulo

Solución en video

Respuesta

No verdadero

Ejercicio #2

AAABBBDDDCCC45°45°

¿Este paralelogramo es un rectángulo?

Solución en video

Respuesta

Verdadero

Ejercicio #3

AAABBBDDDCCC90°

Dado: el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

B=90° ∢B=90°

¿Un paralelogramo es un rectángulo?

Solución en video

Respuesta

Verdadero

Ejercicio #4

AAABBBDDDCCC

Dado: el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

AD=CB

¿Un paralelogramo es un rectángulo?

Solución en video

Respuesta

Sí, un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo

Ejercicio #5

Acaso todo paralelogramo también es un rectángulo?

Solución en video

Respuesta

No, un rectángulo necesariamente tiene ángulos de 90°

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