Del paralelogramo al rectángulo

Del paralelogramo al rectángulo

¿Quieres saber cómo probar que el paralelogramo que tienes delante es en realidad un rectángulo?
Primero, debes saber que la definición formal de un rectángulo es un paralelogramo cuyo ángulo es de \( 90^o \) grados.
Además, si las diagonales en los paralelogramos son iguales, es un rectángulo.

Es decir, si te dan un paralelogramo, puedes probar que es un rectángulo usando uno de los siguientes teoremas:

  • Si un paralelogramo tiene un ángulo de \( 90^o \) grados, es un rectángulo.
  • Si las diagonales son iguales en un paralelogramo, es un rectángulo

Le recordamos brevemente las condiciones para una una comprobación de un paralelogramo:

  1. Si en un cuadrilátero donde cada par de lados opuestos también son paralelos entre sí, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  2. Si en un cuadrilátero donde cada par de lados opuestos también son iguales entre sí, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  3. Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos que son iguales y paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  4. Si en un cuadrilátero las diagonales se cruzan, el cuadrilátero es un paralelogramo.
  5. Si un cuadrilátero tiene dos pares de ángulos opuestos iguales, el cuadrilátero es un paralelogramo.

Vamos a demostrar que un paralelogramo es un rectángulo usando el primer teorema:

Si un paralelogramo tiene un ángulo de \( 90^o \) grados, es un rectángulo.
Nos dan un paralelogramo \( ABCD \) :

Del paralelogramo al rectángulo

Dado que:
\(∢B=90\)

Necesitamos demostrar que:
\( ABCD \) es un rectángulo.

Solución:

Sabemos que en un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Por lo tanto podemos afirmar que:
\(∢B=∢D=90\)
Ahora, podemos afirmar que:
\(∢C=180-90\)
Dado que los ángulos paralelos adyacentes son iguales a \( 180^o \).
Obtenemos que:
\(∢C=90\)

Maravilloso. Ahora podemos afirmar que:
\(∢A=∢C=90 \)
Dado que los ángulos opuestos paralelos son iguales.

¡Magnífico! Probamos que todos los ángulos en un paralelogramo son iguales a \( 90^o \) grados.
Por lo tanto, podemos determinar que el paralelogramo es un rectángulo.

Recuerda, la definición formal del rectángulo es un paralelogramo donde tiene un ángulo de \( 90^o \) grados.
Por lo tanto, no tendremos que demostrar que todos los ángulos son iguales a \( 90^o \).


Ahora, vamos a demostrar que un paralelogramo es un rectángulo usando el segundo teorema:

Si las diagonales son iguales en un paralelogramo, es un rectángulo.
Nos dan un paralelogramo \( ABCD \) :

2 - Paralelogramo

y tiene diagonales iguales:
\(AC=BD\)

Es necesario probar que: \( ABCD \) es un rectángulo.

Solución:
Sabemos que en el paralelogramo las diagonales se cruzan.
Por lo tanto podemos determinar que:
\(AE=CE\)
\(BE=DE\)

También sabemos por los datos de la consigna que: \(AC=BD \)
Por lo tanto, podemos afirmar que todas las mitades son iguales.
¿Por qué?
Podemos escribir que:
\(AE=CE=\frac{AC}{2}\)

\(BE=DE=\frac{BD}{2}\)

Puesto que:
\(AC=BD\)
podemos comparar 
\(\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\)
Y de acuerdo a la regla de transición obtendremos:

\(AE=CE=BE=DE\)

Como todos estos segmentos son iguales, se crean triángulos isósceles.

Identificaremos los ángulos iguales en el dibujo:

Paralelogramo

Lados iguales opuestos, los ángulos son iguales.
Además, en un paralelogramo, los lados opuestos son paralelos
y los ángulos alternos entre líneas paralelas son iguales.

Maravilloso.
Ahora, recuerda que en un cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es igual a \( 360^o \).
Por lo tanto:
\(α+β+α+β+α+β+α+β=360\)
\(4α+4β=360\)
dividimos por \( 4 \) y obtenemos:
\(α+β=90\)

Tenga en cuenta que cada uno de nuestros ángulos paralelos consta de \( α+β \) y, por lo tanto, cada ángulo paralelo es igual a \( 90^o \) grados.
Por lo tanto, el paralelogramo que tenemos delante es un rectángulo, ya que un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo de \( 90^o \) grados.