Bisectriz

Una bisectriz es un segmento que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. 

La bisectriz puede aparecer en un triángulo, paralelogramo, rombo y en otras figuras geométricas. 

Por ejemplo, una bisectriz que pasa a través de un ángulo de 120° grados creará dos ángulos de 60° grados cada uno. 

Ejemplo 1 bisectriz de un triangulo:

En el siguiente ejemplo, hay un triángulo ABC del tipo isósceles.

Note el bisectriz \( BD \) que sale del punto \( B \) al punto \( D \) y divide el ángulo \( ABC \) por \( 2 \).

Es decir, ángulo \( 30°=ABD \) y ángulo \( 30°=CBD \) y son iguales entre sí.

bisectriz de un triangulo


Ejemplo 2 bisectriz de un cuadrado:

En el siguiente ejemplo, se presenta un cuadrado \( ABCD \).

Note el bisectriz \( BD \) que sale del punto \( D \) al punto \( B\) y divide el ángulo \( ∡ADC \) por \( 2 \).

Es decir, ángulo \( 45°=∡ADB \) y ángulo \( 45°=∡CDB \) .

Bisectriz dentro de un cuadrado


Ejemplo 3:

En el siguiente ejemplo, se presenta un rumbo \( ACBD \).

Note el bisectriz \( CD \) que sale del punto \( C \) al punto \( D \) y divide el ángulo ∡ACB por 2.

Es decir, ángulo \( 45°=∡ACD \) y ángulo \( 45°=∡DCB \) son iguales .

Bisectriz dentro de un Rombo


Ejemplo 4:

En el ultimo ejemplo, se presenta un gráfico con dos rectas paralelas \( A \) y \( B \).

Note el bisectriz \( DE \) que sale del punto \( D \) al punto \( E \) y divide el ángulo \( ∡ADF \) por \( 2 \).

Es decir, ángulo \( 25°=∡ADE \) y ángulo \( 25°=∡EDF \) son iguales .

Bisectriz en un gráfico con rectas paralelas ABCDEF


Ejemplo 5:

Bisectriz dentro de un círculo

Bisectriz dentro de un círculo

La recta \( DB \) se cruza con la recta \( AC \) en el punto \( O \) y forma el ángulo \( ∡AOD=90° \)

Ángulo \( ∡AOD=90° \)

Bisectriz \( DE \) cruza el ángulo \( ∡AOD=90° \) en \( 2 \) ángulos iguales de \( 45 \) grados

Ángulo \( AOF=45°= \) Ángulo \( =FOD=45° \)

Ejercicios de los ejemplos anteriores

Ejercicio 1:

En el siguiente ejemplo, hay un triángulo \( ABC \) del tipo isósceles.

Bisectriz_dentro_de_un_triangulo_isosceles1.max-800x600

A. Intenta dibujar una nueva bisectriz, divida el ángulo \( ∡ABD \) en \( 2 \).

B. Especifique el tamaño de los dos ángulos recién formados

Solución al ejercicio 1:

A. El nuevo bisectriz \( BE \) cruza el ángulo \( ∡ABD \) en \( 2 \) ángulos iguales de \( 15° \) grados cada uno.

B. Ángulo \( ∡ABE=15° \) grados es igual a ángulo \( ∡EBD=15° \) grados

Solución al ejercicio 1


Ejercicio 2:

En el siguiente ejemplo, se presenta un cuadrado \( ABCD \).

A. El ángulo \( ∡ABC \) es igual al ángulo de \( ∡ADC \)? ¿Se puede decir que \( BD \) sirve como bisectriz del ángulo \( ∡ABC \)?

Bisectriz dentro de un cuadrado

Solución al ejercicio 2:

La recta \( BD \) creó \( 2 \) puntos donde el ángulo se dividió en \( 2 \) ángulos iguales.

Por lo tanto, \( DB \) es una bisectriz de los dos ángulos \( ∡ADC \) y \( ∡ABC \)


Ejercicio 3:

En el siguiente ejemplo, se presenta un rumbo \( ACBD \).

Note el bisectriz \( CD \) que sale del punto \( C \)al punto \( D \) y divide el ángulo \( ∡ACB \) por \( 2 \).

Solución al ejercicio limpio

Si dibuja una bisectriz entre los puntos \( A \) y \( B \), y el punto de intersección entre las dos líneas en el centro del rombo es \( O \).

¿Qué tipo de triángulo sería un triángulo \( ∡AOC \)?

Solución al ejercicio 3

Solución al ejercicio 3:

Si dibujamos bisectriz desde el punto \( A \) al punto \( B \) cuando el punto de intersección entre las rectas \( AB \) y \( CB \) será \( O \).

Y tenga en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo igual a un triángulo \( AOC \) de \( 180° \) grados será un triángulo rectángulo.

Esto es porque:

Ángulo \( ∡CAO=30° \)

Ángulo \( ∡OCA=60° \)

Y la suma de los ángulos de un triángulo es igual a \( 180° \).

Por lo tanto \( 180°-90°=90° \).

Y un triángulo cuyo uno de sus ángulos es igual a \( 90° \) es un triángulo rectángulo.


Ejercicio 4:

En el ultimo ejemplo, se presenta un gráfico con dos rectas paralelas \( A \) y \( B \).

Note el bisectriz \( DE \) que sale del punto \( D \) al punto \( E \) y divide el ángulo ∡ADF por \( 2 \).

Es decir, ángulo \( ∡ADE=25° \) y ángulo \( ∡EDF=25° \) son iguales .

Bisectriz en un gráfico con rectas paralelas 22

En este ejercicio le pediremos que dibuje otra recta paralela a la recta \( ED \).

línea paralela que será paralela a la línea DE

Solución al ejercicio 4

Tenemos en cuenta que la recta \( A \) y la recta \( B \) son rectas paralelas, y se corta con la recta \( CF \).

Dibujando una recta \( GH \) que es la bisectriz de ángulo \( ∡BKF \).

Y para estar seguros de que la recta \( GH \) paralela a la recta \( ED \) nos aseguraremos de que el ángulo de \( ∡GKF \) sea igual a \( 25° \).


Ejercicio 4:

Bisectriz dentro de un círculo

Bisectriz dentro de un círculo1

Si dibuja una línea entre el punto \( A \) y el punto \( B \),

  1. ¿La nueva creada \( AB \) será paralela a la línea \( FE\)?

Solución al ejercicio 5

Dado que las dos rectas \( AC\) y \( DB\) se cruzan verticalmente, con ángulo de \( 90°\) grados entre ellas.

Se puede concluir que si dibujaremos una línea entre los 4 puntos \( ABCD\) formaremos un cuadrado que se divide en el medio por la recta \( FE\).

La recta \( FE\) forma un rectángulo \( ABHG\).

Una de las propiedades de un rectángulo es que las rectas opuestas del rectángulo son paralelas entre sí.

Por lo cual, la recta \( AB\) es paralela a la recta \( FE\).

Ejercicio solución 5