Bisectriz

Una bisectriz es un segmento de recta que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales

La bisectriz puede aparecer en un triángulo, paralelogramo, rombo y en otras figuras geométricas. 

Por ejemplo, una bisectriz que pasa a través de un ángulo de \( 120° \) grados creará dos ángulos de \( 60° \) grados cada uno. 

1 Bisectriz

Ejemplo 1: Bisectriz de un triángulo equilátero:

En el siguiente ejemplo, hay un triángulo equilátero \( \triangle ABC \).

Note la bisectriz \( BD \) que sale del punto \( B \) al punto \( D \) y divide el ángulo \( ∡ABC \) en \( 2 \).

Es decir, ángulo \( ∡ABD = 30° \) y ángulo \( ∡CBD = 30° \) por lo tanto son iguales entre sí.

Imagen 1 - Bisectriz dentro de un triángulo equilátero


Ejemplo 2: Bisectriz dentro de un cuadrado:

En el siguiente ejemplo, se presenta un cuadrado \( ABCD \).

Note que la bisectriz \( BD \) que sale del punto \( D \) al punto \( B \) y divide el ángulo \( ∡ADC \) en \(2 \).

Es decir, el ángulo \( ∡ADB = 45° \) y el ángulo \( ∡CDB = 45° \).

Bisectriz dentro de un cuadrado


Ejemplo 3: Bisectriz dentro de un rombo

En el siguiente ejemplo, se presenta un rombo \( ACBD \).

Note que la bisectriz \( CD \) que sale del punto \( C \) al punto \( D \) y divide el ángulo ∡ACB en \( 2 \).

Es decir, el ángulo \( ∡ACD = 45° \) y el ángulo \( ∡DCB = 45° \) que son iguales .

Bisectriz dentro de un Rombo


Ejemplo 4: Bisectriz en un gráfico con rectas paralelas

En en este ejemplo, se presenta un gráfico con dos rectas paralelas \( A \) y \( B \).

Note que la bisectriz \( DE \) que sale del punto \( D \) al punto \( E \) y divide el ángulo \( ∡ADF \) en \( 2 \).

Es decir, el ángulo \( ∡ADE = 25° \) y el ángulo \( ∡EDF = 25° \) que son iguales .

Bisectriz en un gráfico con rectas paralelas ABCDEF


Ejemplo 5: Bisectriz dentro de un círculo

Bisectriz dentro de un círculo

La recta \( DB \) se cruza con la recta \( AC \) en el punto \( O \) y forma el ángulo \( ∡AOD = 90° \).

La bisectriz \( FO \) parte el ángulo \( ∡AOD = 90° \) en \( 2 \) ángulos iguales de \( 45 \) grados.

Teniendo que el ángulo \( ∡AOF = 45° \) y el ángulo \( ∡FOD = 45° \) son iguales.


Ejercicios de los ejemplos anteriores

Ejercicio 1: (Bisectriz dentro de un triángulo equilátero)

En el siguiente ejemplo, hay un triángulo equilátero \( ABC \).

Imagen 1 - Bisectriz dentro de un triángulo equilátero

A. Intenta dibujar una nueva bisectriz, que divida el ángulo \( ∡ABD \) en \( 2 \).

B. Especifique el tamaño de los dos ángulos recién formados

Solución al ejercicio 1:

A. La nuevo bisectriz \( BE \) parte el ángulo \( ∡ABD \) en \( 2 \) ángulos iguales de \( 15° \) grados cada uno.

B. El tamaño de los ángulos formados es \( ∡ABE = 15° \) que es igual a ángulo \( ∡EBD = 15° \).

Solución al ejercicio 1


Ejercicio 2: (Bisectriz dentro de un cuadrado)

En el siguiente ejemplo, se presenta un cuadrado \( ABCD \).

A. El ángulo \( ∡ABC \) es igual al ángulo de \( ∡ADC \) ¿Se puede decir que \( BD \) sirve como bisectriz del ángulo \( ∡ABC \)?

Bisectriz dentro de un cuadrado

Solución al ejercicio 2:

La recta \( BD \) creó \( 2 \) puntos donde el ángulo se dividió en \( 2 \) ángulos iguales.

Por lo tanto, \( DB \) es una bisectriz de los dos ángulos \( ∡ADC \) y \( ∡ABC \)


Ejercicio 3: (Bisectriz dentro de un rombo )

En el siguiente ejemplo, se presenta un rombo \( ACBD \).

Note la bisectriz \( CD \) que sale del punto \( C \)al punto \( D \) y divide el ángulo \( ∡ACB \) por \( 2 \).

Solución al ejercicio limpio

Si se dibuja una bisectriz entre los puntos \( A \) y \( B \), y el punto de intersección entre las dos líneas en el centro del rombo es \( O \).

¿Qué tipo de triángulo sería el triángulo \( ∡AOC \)?

Solución al ejercicio 3

Solución al ejercicio 3:

Si dibujamos la bisectriz desde el punto \( A \) al punto \( B \) cuando el punto de intersección entre las rectas \( AB \) y \( CD \) será \( O \).

Y tenga en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo debe ser igual a \( 180° \).

Por lo tanto el triángulo \( AOC \) será un triángulo rectángulo.

Esto es porque:

El ángulo \( ∡CAO = 30° \) y el ángulo \( ∡OCA = 60° \).

Y la suma de los ángulos de un triángulo es igual a \( 180° \).

Por lo tanto \( 180° - 90° = 90° \).

Y un triángulo cuyo uno de sus ángulos es igual a \( 90° \) es un triángulo rectángulo.


Ejercicio 4: (Bisectriz de un ángulo)

En este ejemplo, se presenta un gráfico con dos rectas paralelas \( A \) y \( B \).

Note que la bisectriz \( DE \) que sale del punto \( D \) al punto \( E \) divide el ángulo \( ∡ADF \) por \( 2 \).

Es decir, en un ángulo \( ∡ADE = 25° \) y en un ángulo \( ∡EDF = 25° \) que son iguales .

Bisectriz en un gráfico con rectas paralelas 22

En este ejercicio le pediremos que dibuje otra recta paralela a la recta \( ED \).

línea paralela que será paralela a la línea DE

Solución al ejercicio 4

Tengamos en cuenta que la recta \( A \) y la recta \( B \) son rectas paralelas, y son cortadas por la recta \( CF \).

Dibujando una recta \( GH \) que es la bisectriz de ángulo \( ∡BKF \).

Y para estar seguros de que la recta \( GH \) es paralela a la recta \( ED \), basta ver que el ángulo de \( ∡GKF \) es igual a \( 25° \).


Ejercicio 5:

Bisectriz dentro de un círculo1

Si se dibuja una línea entre el punto \( A \) y el punto \( B \), ¿La nueva recta creada \( AB \) será paralela a la línea \( FE\)?

Solución al ejercicio 5:

Dado que las dos rectas \( AC\) y \( DB\) se cruzan perpendicularmente formando un ángulo de \( 90°\) entre ellas.

Se puede concluir que si dibujaremos una línea entre los 4 puntos \( ABCD\) formaremos un cuadrado que se divide en el medio por la recta \( FE\).

Luego la recta \( FE\) forma un rectángulo \( ABHG\).

Una de las propiedades de un rectángulo es que los lados opuestos del rectángulo son paralelos entre sí.

Por lo cual, la recta \( AB\) es paralela a la recta \( FE\).

Ejercicio solución 5


Preguntas sobre el tema

¿Qué es una bisectriz?

Es un segmento de recta que pasa por el vértices de un ángulo y lo parte en dos partes iguales.


¿Qué se conoce como bisectriz en un triángulo?

Es el segmento de recta que divide en dos ángulos iguales a un ángulo interior del triángulo.


¿Cuántas bisectrices tiene un triángulo?

Recordemos que un triángulo tiene tres vértices, por lo tanto, tiene tres bisectrices.


¿Cuánto miden los ángulos iguales que generan las bisectrices de un triángulo equilátero?

Recordando que la medida de los ángulos internos de cualquier triángulo equilátero es de \( 60°\), entonces las bisectrices partirán estos ángulos en dos ángulos iguales de \( 30°\) cada uno.