Rectángulo

Propiedades del rectángulo

El rectángulo es un cuadrilátero con dos pares de aristas (lados) opuestas paralelas, que todos sus ángulos miden 90 grados.

  1. Los pares de lados son opuestos, iguales y paralelos.
  2. Todos los ángulos del rectángulo miden 90º cada uno.
  3. Las diagonales del rectángulo son iguales.
  4. Las diagonales del rectángulo se cruzan (no sólo que se cruzan, sino que lo hacen justo en el punto medio de cada una). 
  5. Ya que las diagonales son iguales, también sus mitades lo son.

Atención:
Las diagonales del rectángulo no son perpendiculares (son oblicuas) y no cruzan los ángulos del rectángulo.

Definición formal de rectángulo:

El rectángulo es un paralelogramo con ángulos de una amplitud de 90º, es decir ángulos rectos.
Ya que el rectángulo es un tipo de paralelogramo cumple con las propiedades del paralelogramo.


Demostración del rectángulo:

Dado un paralelogramo con un ángulo de 90º o bien, un paralelogramo con diagonales de la misma longitud, podremos determinar que se trata de un rectángulo.

Demostración del rectángulo


Rectángulo

El rectángulo es una figura magnífica que tiene características especiales. Conozcamos todas sus propiedades y así podremos comprobar que la figura que se expone ante nosotros no podría ser otra cosa que no sea un rectángulo.


¿Qué es un rectángulo?

El rectángulo es un cuadrilátero cuyos ángulos miden 90 grados cada uno.

Demostración del rectángulo


Propiedades del rectángulo:

  • Los pares de lados son opuestos, iguales y paralelos.

Es decir:
\(AB=DC\)
\(AB∥DC\)

y también

\(AD=BC\)
\(AD∥BC\)

  • Todos los ángulos del rectángulo miden 90 grados cada uno.

Es decir:
\(∢A=∢B=∢C=∢D=90\)


Veamos un ejercicio básico con un rectángulo: 

ejercicio básico con un rectángulo

Dado el rectángulo ABCD en el cual \(AB=6\) y \(BC=3\).

Se debe encontrar la longitud de las aristas \(DA \) y \(CD\).

Acorde a las propiedades que hemos aprendido acerca del rectángulo, las aristas opuestas tienen la misma longitud.

Por lo tanto, se cumple lo siguiente:

\(AB=CD= 6\)

\(BC=DA=3\)


Diagonales en el rectángulo:

Ahora pasaremos a las propiedades de las diagonales del rectángulo:
Volvamos a trazar nuestro rectángulo sin ninguna marca para no confundirnos:

propiedades de las diagonales del rectángulo
  • Las diagonales del rectángulo son iguales.

Es decir, \(AC=BD\)

Información útil:
Podrás demostrar este argumento muy fácilmente por medio de la congruencia de triángulos \( ⊿ADC\) y \(⊿BCD\)
según LAL

ArgumentoExplicación
Lado \(AD=BC\)Según las propiedades del rectángulo cada par de lados opuestos son iguales.
Ángulo \(∢ADC=∢BCD\)Según las propiedades del rectángulo todos sus ángulos son iguales.
Lado \(DC=DC\)Lados opuestos, tienen la misma longitud.
De esto se desprende que:
\(⊿BCD=⊿ADC \)
Según LAL.
Entonces:
\(AC=BD  \)
Según congruencia de ángulos.
  • Las diagonales del rectángulo se cruzan (no sólo que se cruzan, sino que lo hacen justo en el punto medio de cada una). Ya que las diagonales son iguales, también sus mitades lo son.

Es decir:
\(AE=BE=CE=DE\)

¡Atención!
¡Las diagonales del rectángulo no son perpendiculares!
No forman un ángulo recto entre ellas.

Además
¡Estas diagonales no cruzan los ángulos del rectángulo!

Nota:
Ya que el rectángulo es un tipo de paralelogramo cumple con las propiedades de éste.

¿Cómo podemos demostrar que lo que tenemos es un rectángulo? Demostración
La definición formal del rectángulo es:
Un paralelogramo con un ángulo recto (90º).

Además,
un paralelogramo con diagonales de la misma longitud, en realidad, se llamará rectángulo...
El rectángulo es un tipo de paralelogramo, sólo más especial.
Si se nos da un paralelogramo con un ángulo de 90º o bien, uno con diagonales de la misma longitud, podremos determinar que se trata de... ¡un rectángulo!

Del cuadrilátero al rectángulo

¿Cómo podemos demostrar que el cuadrilátero que tenemos ante nosotros es, de hecho, un rectángulo?
Hay dos maneras:

La primera: Controlar los ángulos

Controla si 3 de los ángulos del rectángulo miden 90º.
Si la respuesta es positiva, dicho cuadrilátero es un rectángulo.
(No hace falta que midamos el cuarto ángulo ya que éste debe completar 360º, por lo tanto, también medirá 90º.) 

La segunda: Demostración de paralelogramo, luego, de rectángulo

Fíjate si puedes demostrar que el cuadrilátero dado es un paralelogramo.
¿No sabes exactamente cómo demostrarlo? Observa nuestra guía «De cuadrilátero a paralelogramo» y sabrás cómo distinguir un paralelogramo a 20 km de distancia.

Luego, deberás demostrar que el paralelogramo es un rectángulo apoyándote en alguna de estas reglas:

  • Si el paralelogramo tiene un ángulo de 90º es un rectángulo.
  • Si las diagonales del paralelogramo son iguales es un rectángulo.

Dado un paralelogramo podrás demostrar que se trata de un rectángulo con alguna de estas reglas:

  • Si el paralelogramo tiene un ángulo de 90º es un rectángulo.
  • Si las diagonales del paralelogramo son iguales es un rectángulo.

Atención
La definición formal del rectángulo es: Un paralelogramo con un ángulo recto (90º).
Por consiguiente, es evidente que si tenemos un paralelogramo que tiene un ángulo de 90 grados podremos determinar que es un rectángulo.
Además, otra de las propiedades del rectángulo es que sus diagonales son de la misma longitud.
Entonces, al recordar la segunda norma controlaremos las diagonales.
Si son iguales demostraremos que se trata de un rectángulo.

¡Genial! Ahora sabes todo lo necesario acerca del rectángulo.


Varios ejercicios de rectángulos

Ejercicio 1:

Dados dos dos rectángulos en la figura:

Ejercicio dos dos rectángulos en la figura

Pregunta:

¿Cuál es el área de la zona en blanco?

Solución:

Para contestar la respuesta restamos el área del rectángulo grande menos el área del rectángulo pequeño:

La fórmula para calcular un área rectangular es el doble de la altura de la base.

Comencemos por calcular el área del rectángulo grande:

La base del rectángulo grande está formada por un lado \( DC=DG+GC \)

\( DC=4+5 \)

es decir

\( DC=9 \) (base)

La altura del rectángulo grande = \( DA=CE+EA \)

\( AD=2+2=4 \)

Es decir, \( DA=4 \)

Ahora calcula el área del rectángulo grande:

\( DC\times DA=9\times4=36cm² \)

Ya tenemos el área del rectángulo grande.

En el segundo paso se calcula el área del rectángulo pequeño, la fórmula es la misma (base multiplicada por la altura)

Es decir, el área del rectángulo pequeño es igual a: \( DG\times DE \)

El área del rectángulo pequeño es igual a \( 2\times4=8cm² \)

Ahora lo único que nos queda es calcular el área del rectángulo grande menos el área del rectángulo pequeño y así obtenemos el área de la parte blanca:

\( 36-8=28 \)

Respuesta:

El área blanca en la figura es de 28 cm²


Ejercicio 2:

Dado un ortoedro con las dimensiones de la figura.

Ejercicio 2 un ortoedro con las dimensiones de la figura

Pregunta:

¿Qué rectángulos conforman el ortoedro?

Solución:

Basado en la suposición de que el ortoedro es una caja simétrica, lo que significa que los ángulos de las esquinas son siempre de 90 grados, se puede concluir que en el ortoedro hay 3 pares de rectángulos iguales.

Respuesta:

Primer par - un rectángulo con una base de 5 cm y una altura de 3 cm

Segundo par: un rectángulo con una base de 6 cm y una altura de 3 cm

Tercer par: un rectángulo con una base de 6 cm y una altura de 5 cm.


Ejercicio 3:

Dado un rectángulo ABCD con un área de 42 cm², y AD es igual de 12 cm.

Ejercicio 3 Dado un rectángulo ABCD con un área de 42 cm²

Pregunta:

¿Cuál es el valor del lado DC?

Solución:

Para contestar esta pregunta primero veremos los datos que tenemos:

Dado que la altura (AC) del rectángulo es 12

Llamaremos a la base X

Dado que el área del rectángulo \( ABCD=S=42cm² \)

Para responder a la pregunta reemplazamos los datos que tenemos en la fórmula para calcular el área del rectángulo: altura * base = área del rectángulo

Presentaremos los datos en una fórmula para calcular el área de un rectángulo:

\( 12\times X=42 \)

Dividimos la ecuación en 12

\( X=3.5 \)

Respuesta:

\( AB=DC=3.5\operatorname{cm} \)


Ejercicio 4:

Un rectángulo dado de dos cuadrados:

Ejercicio 4 Un rectángulo dado de dos cuadrados

Pregunta:

¿Cuál es el área del rectángulo?

Solución:

En el primer paso notamos que dado que dos cuadrados son idénticos y adyacentes, forman un rectángulo que se divide exactamente en el medio de los dos cuadrados.

El segundo paso para responder a esta pregunta es recordar las propiedades del cuadrado: una de las propiedades del cuadrado es que todos sus lados son iguales, es decir, el lado y la altura del cuadrado son iguales a 4.

El cálculo se puede concluir de varias formas, en este caso resolveremos la cuestión calculando el área del cuadrado y multiplicándola por 2.

La fórmula para calcular un área cuadrada es un lado a la potencia de 2.

Es decir: \( \left(5²\right) \)

Entonces todo lo que queda por hacer es multiplicar por 2.

Es decir, el área de un cuadrado \( 25\times2=50 \)

Esto se debe a que el rectángulo se compone de 2 cuadrados idénticos, lo que significa que es igual a 50 cm²

Respuesta:

\( 50cm² \)


Ejercicio 5:

El área del rectángulo es igual a 256 cm².

Un lado es 4 veces más largo que el otro.

Ejercicio 5 El área del rectángulo es igual a 256 cm²

Pregunta:

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución:

Colocaremos los datos que recibimos en la fórmula para calcular el área del rectángulo:

Altura * base = área del rectángulo

\( X\times4X=256 \)

Es decir: \( 4X²=256 \)

Divide la ecuación por 4 y obtienes que \( X²=64 \)

Haz una raíz a 64 para deshacer la incógnita de la X

Y encontramos que \( X=8 \)

Ahora todo lo que tiene que hacer es colocar X = 8 en la figura.

Dado que un rectángulo es una forma simétrica, puedes conocer las dimensiones de todos los lados del rectángulo:

Respuesta:

Todos los lados del rectángulo:

Todos los lados del rectángulo