Demostración del paralelismo de rectas

Podremos demostrar que las rectas son paralelas si se cumple, al menos, una de las siguientes condiciones:

  • Si entre dos rectas y una transversal, se forman ángulos alternos congruentes quiere decir que las dos rectas son paralelas.
  • Si entre dos rectas y una transversal, se forman ángulos correspondientes congruentes quiere decir que las dos rectas son paralelas.
  • Si entre dos rectas y una transversal, se forman ángulos colaterales suplementarios (es decir, su sumatoria es \( 180º \)) quiere decir que las dos rectas son paralelas.

Demostración del paralelismo de rectas

Para demostrar el paralelismo de rectas debemos, primeramente, recordar cómo se identifican los ángulos alternos y los correspondientes.
Repasemos rápidamente los pasos para la identificación de los ángulos correspondientes y los alternos de un modo muy fácil de recordar:
Te presentamos el método que nosotros llamamos «El edificio»
Con este método observaremos las rectas que pensamos que son paralelas y nos imaginaremos un edificio con apartamentos pequeños - cada recta es un edificio en sí.
En cada edificio hay dos plantas y dos lados - primera o segunda planta y lado derecho o izquierdo.
Los ángulos correspondientes son los que habitan la misma planta y el mismo lado.
Los ángulos alternos son los que habitan en distintas plantas y lados opuestos.


Veámoslo en una ilustración:

Demostración del paralelismo de rectas

Como podemos ver, los ángulos 1, 2, 5, 6
se encuentran en la primera planta
y los ángulos 3, 4, 7 y 8 en la segunda.
Claramente, cada par de ángulos se encuentra en su propio edificio.

Por lo tanto, podemos afirmar que:
los ángulos 1 y 5, por ejemplo, son ángulos correspondientes, se encuentran en la misma planta y del mismo lado,
igual que los ángulos 3,7 2,6 y 4,8.
También podemos decir que los ángulos 1,8 son ángulos alternos ya que aparecen en distintas plantas y en lados diferentes,
claramente también los ángulos 2,7 3,6 o 4,5.

¡Genial! Ahora que recordamos cómo se identifican los ángulos correspondientes y alternos con el método del edificio, pasaremos a demostrar el paralelismo de rectas.
Para demostrar que las rectas son paralelas veremos si se cumple la siguiente regla:

Entre dos rectas y una transversal, se forman ángulos alternos congruentes o ángulos correspondientes congruentes.

Si así fuere ¡las rectas son paralelas!
Si no, no son paralelas.
Nota importante: Los ángulos correspondientes o alternos se forman sólo y únicamente por la misma transversal.

Observa
A veces, se nos presentarán los ángulos a través de datos numéricos. Para ver si las rectas son paralelas simplemente compararemos entre los ángulos correspondientes o alternos y veremos si son congruentes.
Pero, en ciertos casos, habrá incógnitas entre los datos de los ángulos.
Recordemos que los ángulos adyacentes equivalen a \( 180º \), completemos las piezas que nos faltan en el rompecabezas y comparemos las expresiones con incógnitas para hallar los valores a los cuales son paralelas las rectas.

Otro modo para la demostración del paralelismo de rectas

También podrás demostrar el paralelismo de rectas a través de ángulos colaterales.
Recuerda: los ángulos colaterales, acorde al método del edificio, son los que se encuentran del mismo lado pero no en la misma planta.
Si, entre dos rectas y una transversal se forman ángulos colaterales suplementarios podrás determinar que las rectas son paralelas.

Veamos un ejemplo de la demostración del paralelismo de rectas:
Tenemos dos rectas que creemos ser paralelas y una transversal.
Los datos se exponen en la ilustración del siguiente modo:

Veamos un ejemplo de la demostración del paralelismo de rectas

Los ángulos señalados en la ilustración que miden \( 100º \) y \( 80º \) grados no son alternos ni correspondientes.
Por lo tanto, intentaremos completar las piezas del rompecabezas y veremos a dónde llegamos.
Sabemos que ángulos adyacentes equivalen a \( 180º \) grados y, por consiguiente, podremos completar el esquema del siguiente modo:

Angulos señalados en la ilustración que miden 100 y 80 grados

¡Genial! Incluso hemos obtenido dos pares de ángulos alternos congruentes, entonces, podremos determinar que las rectas son paralelas. (Un par habría sido suficiente).
Observa :

Si hubieras querido utilizar la demostración de los ángulos colaterales también lo habrías podido hacer muy fácilmente.
Vemos en la primera ilustración, que los ángulos dados son ángulos colaterales (están del mismo lado pero no en la misma planta).
Podemos con facilidad ver que juntos miden \( 180º \) y, por consiguiente, podremos determinar que las rectas son paralelas.


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