Ángulos colaterales

Antes de que toquemos el tema de los ángulos colaterales veamos cuáles podrían ser las circunstancias que nos puedan llevar a usarlos. Imaginémonos dos rectas paralelas y una transversal (para una explicación más detallada te conviene echarle una mirada al artículo «Rectas paralelas» donde se profundiza este tema), tal como podemos ver en la siguiente ilustración: 

En la ilustración se ven las dos rectas paralelas $A$ y $B$ junto con la transversal $C$ que las corta, en estas circunstancias es muy común encontrarnos con los ángulos colaterales. 

Ahora definiremos los ángulos colaterales de una forma más precisa lo que podrá ayudarnos a reconocerlos con mayor seguridad: 

Los ángulos colaterales son el par de ángulos que podemos encontrar del mismo lado de una recta transversal que corta dos rectas paralelas y que se encuentran internos o externos con respecto a las rectas paralelas. La suma de los ángulos colaterales equivale a $180º$.

En la siguiente ilustración podemos ver dos pares de ángulos colaterales, hemos señalado el primer par en color azul y el segundo par en color rojo:

Notemos que si el par de ángulos colaterales se encuentra por fuera de las rectas paralelas entonces se denominan ángulos colaterales externos y si se encuentran por dentro de las paralelas se denominan ángulos colaterales internos. 

La ilustración descrita anteriormente induce a otros tipos de ángulos. A continuación los describiremos brevemente: 

Los ángulos alternos son un par de ángulos que podemos encontrar en los lados opuestos de una transversal que corta dos rectas paralelas. Estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen y tienen la misma medida. Si necesitas información más detallada puede echar un vistazo al artículo destinado especialmente a este tema «Ángulos alternos».

Los ángulos correspondientes son un par de ángulos que podemos encontrar del mismo lado de una transversal que corta dos rectas paralelas. Estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen y tienen la misma medida. 

Si necesitas información más detallada puede echar un vistazo al artículo destinado especialmente a este tema «Ángulos correspondientes».

Los ángulos opuestos por el vértice surgen en el punto de intersección de dos rectas que se cruzan, uno frente al otro, compartiendo el mismo vértice. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Si necesitas información más detallada puedes echar un vistazo al artículo destinado especialmente a este tema «Ángulos opuestos por el vértice».

Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

• Notación de ángulos
• Lados, vértices, y ángulos
• Bisectriz
• Ángulo recto
• Ángulo agudo
• Ángulo obtuso
• Ángulo plano
• Ángulos adyacentes
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos alternos
• Ángulos correspondientes
• Suma de los ángulos de un triángulo
• Suma de los ángulos de un polígono
• Suma y diferencia de ángulos

En la página web de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

Tienes que determinar, en cada una de las ilustraciones que se ven a continuación, si se trata de ángulos colaterales o no.

Por favor explica tu respuesta. 

Solución: 

Ilustración No 1

En esta ilustración efectivamente tenemos un par de ángulos colaterales ya que se cumplen los dos criterios que los describen, o sea, primeramente, hay un par de ángulos ubicados del mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas. En segundo lugar, estos ángulos se encuentran en niveles contrarios respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. 

Ilustración No 2

En esta ilustración no se trata de ángulos colaterales ya que no se cumple uno de los dos criterios que los describen, es decir, sí que tenemos un par de ángulos ubicados del mismo lado de la transversal que corta a las dos rectas paralelas. Pero, estos ángulos se encuentran en el mismo nivel respecto a la recta paralela a la cual pertenecen.

Ilustración No 3

En esta ilustración no se trata de ángulos colaterales ya que no se cumple uno de los dos criterios que los describen, es decir, hay un par de ángulos que se encuentran en niveles contrarios respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Sin embargo, estos ángulos están ubicados en distintos lados de la transversal que corta a las dos rectas paralelas.

Entonces:

Ilustración No 1: ángulos colaterales.

Ilustración No 2: no son ángulos colaterales, sin embargo, son ángulos correspondientes.

Ilustración No 3: no son ángulos colaterales, sin embargo, son ángulos alternos.

Dado el paralelogramo $KLMN$ tal como se observa en esta ilustración.

El ángulo $N$ del paralelogramo mide $50º$.

Calcula los demás ángulos del paralelogramo $KLMN$. 

Solución: 

Ya que se nos muestra un paralelogramo podemos aprovechar sus propiedades para calcular el resto de los ángulos en base al ángulo $N$. 

En un paralelogramo los ángulos opuestos son del mismo tamaño, por lo tanto, de esto se puede deducir que también el ángulo $L$ mide $50º$.

Ahora pasemos a los otros dos ángulos. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos, es decir, el lado $KL$ es paralelo al lado $NM$. De esto deriva que los ángulos $K$ y $N$ son, de hecho, un par de ángulos colaterales, es decir, antes que nada, son un par de ángulos ubicados del mismo lado de la transversal ($KN$) que corta dos rectas paralelas ($KL$ y $NM$). En segundo lugar, estos ángulos se encuentran en niveles contrarios respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Los ángulos colaterales son suplementarios, es decir, juntos equivalen a $180º$. Por consiguiente tenemos que el ángulo $K$ mide $180º-50º=130º$. 

Los ángulos $K$ y $M$ también son opuestos dentro de un paralelogramo, por lo tanto, son iguales, es decir el ángulo $M$ también mide $130º$. 

Entonces:

El ángulo $L$ mide $50º$.

El ángulo $K$ mide $130º$.

El ángulo $M$ mide $130º$.

Dado el trapecio rectángulo $ABCD$ tal como se describe en la ilustración.

El ángulo $A$ del trapecio mide $105º$. 

¿Cuánto mide el ángulo $D$?

Solución: 

Tenemos un trapecio rectángulo. Este dato es muy importante para resolver nuestro ejercicio. 

¿Cuál es su importancia? Al tratarse de un trapecio tenemos dos bases paralelas, o sea,$AB$ y $DC$.

Tener dos bases paralelas implica que los ángulos $A$ y $D$son, de hecho, ángulos colaterales, es decir, tenemos un par de ángulos ubicados del mismo lado de la transversal (el lado $AD$) que corta dos rectas paralelas ($AB$ y $DC$). Además, estos ángulos se encuentran en el nivel contrario respecto a la recta paralela a la cual pertenecen. Como hemos aprendido, los ángulos colaterales son suplementarios, es decir, juntos equivalen a \( 180º \). Por lo tanto, tenemos que el ángulo $D$ mide $180º-105º= 75º$. 

Entonces:

El ángulo $D$ mide $75º$.

¿Cuántas rectas paralelas hay en la figura?

Solución:

Comencemos viendo si las rectas "$a$” y “$b$” son paralelas:

Suponiendo que ambas rectas son paralelas, tenemos una transversal que las corta formando en la intersección con la recta "$a$” un ángulo de $58º$ y un ángulo de $123º$ en la intersección con la recta “$b$”. Luego, el ángulo opuesto por el vértice del ángulo de $123º$ junto con el ángulo de $58º$ forman un par de ángulos colaterales, es decir, juntos deberían de sumar $180º$. Recordando que ángulos opuestos por el vértices son iguales, vemos que la suma no da $180º$, ya que $57º + 123º = 180º$. Por lo tanto,las rectas "$a$” y “$b$” no son paralelas.

Ahora veamos si las rectas "$b$” y “$c$” son paralelas:

Utilizando un razonamiento similar al anterior, podemos suponer que estas rectas son paralelas. Luego utilizando el ángulo opuesto por el vértice del ángulo de $57º$ contenido en la recta “$c$” y el ángulo de $123º$ contenido en la recta "$b$”, vemos que son colaterales internos por lo que su suma debería ser $180º$. En este caso esto se cumple ya que $57º + 123º = 180º$, por lo tanto las rectas "$b$” y “$c$” son paralelas.

Ahora veamos si las rectas "$c$” y “$d$” son paralelas:

El ángulo de $57º$ contenido en la recta "$c$” y el ángulo de $123º$ contenido en la recta “$d$, forman ángulos colaterales internos por lo que su suma debería ser $180º$. En este caso esto se cumple ya que $57º + 123º = 180º$, por lo tanto las rectas "$c$” y “$d$” son paralelas.

Ahora veamos si las rectas "$d$” y “$e$” son paralelas:

Nuevamente supongamos que lo son, entonces el de $30º$ contenido en la recta “$d$” y el ángulo de $150º$ contenido en la recta “$e$” forman ángulos colaterales externos, por lo tanto, deben sumar $180º$. Esto es cierto ya que $30º + 150º = 180º$, entonces las rectas "$d$” y “$e$” son paralelas.

Entonces:

Las rectas $“b”, “c”, “d”, “e”$ son paralelas.

Dadas las rectas paralelas $a$ , $b$.

Calcular los ángulos marcados.

Solución: 

Ángulo $β$ opuesto por el vértice es igual a $18º$.

$β = 18º$

El ángulo de $18º$ resulta ser colateral interno con el ángulo α, por lo tanto su suma debe dar $180º$:

$α + 18º = 180º$

$α = 162º$

Entonces:

Los ángulos son $β = 18º$ y $α = 162º$.

Dado el trapecio, encontrar el valor de $X$.

Solución: 

Dado que los lados $DC$ y $AB$ son paralelos y enumerando los ángulos formados por esas rectas secantes tenemos que:

$\sphericalangle5+\sphericalangle3=180°$

$\sphericalangle5+\sphericalangle125=180°$

$\sphericalangle5=55°$

Los ángulos \( \sphericalangle2 \) y \( \sphericalangle6 \) son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales:

$\sphericalangle6=\sphericalangle2=102°$

De igual forma los ángulos $X$ y $\sphericalangle7$ son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales

$X=\sphericalangle7$

Luego recordando que la suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a $360º$, tenemos que:

$\sphericalangle1+\sphericalangle5+\sphericalangle6+\sphericalangle7=360°$

Así:

$120° + 55° + 102° + X = 360°$

$X = 83°$

Entonces:

$X=83º$

Dado el polígono de la figura:

¿Cuál de los pares rectos es paralelo entre sí?

Solución: 

• Entre los lados “$b$” y “$g$” se puede identificar un par de ángulos alternos internos que no son iguales, por lo tanto esos lados no son paralelos.
• Considerando los ángulos formados por la transversal que corta a los lados “$b$” y “$d$”, tenemos que el ángulo opuesto por el vértice del ángulo de $70^o$ es alterno interno con el ángulo de $110^o$, por lo tanto deberían ser iguales si “$b$” y “$d$” fueran paralelos, lo cuál podemos observar no ocurre. 
• No hay datos sobre “$b$” y “$b$” debido a que no hay una recta transversal que los corte, lo mismo ocurre con otros pares de lados.

Ejercicio 8: 

$CE$ es paralela a $AD$

¿Cuál es el valor de $X$ ?, si es dado que $ABC$ es un triángulo isósceles, con los lados $AB=BC$. 

Solución:

El ángulo $\sphericalangle ACE$ es opuesto por el vértice con el ángulo que mide $2X$, por lo tanto son iguales.

Por el mismo argumento el ángulo $\sphericalangle DAB$ es igual a $X - 10$.

Luego, la suma del ángulo alterno interno del ángulo $\sphericalangle ACE$ junto con el ángulo $\sphericalangle CAB$ y el ángulo $\sphericalangle BAD$ suman $180º$, entonces tenemos la siguiente ecuación:

$2X+\sphericalangle CAB+(X-10)=180º$

$\sphericalangle CAB=180º-2X-(X-10)$

$\sphericalangle CAB=190º-3X$

Ahora, ya que los lados $AB = BC$ entonces los ángulos $\sphericalangle ACB=\sphericalangle CAB=190º-3X$.

Luego, recordemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es $180º$, por lo tanto:

$\sphericalangle ACB+\sphericalangle CAB+\sphericalangle ABC=180º$

$(190º - 3X) + (190º - 3X) + (3X - 30) = 180º$

$350º - 3X = 180º$

$X=\frac{170º}{3}$

$X = 56.67º$

¿Qué son los ángulos colaterales?

Son un par de ángulos que podemos encontrar del mismo lado de una recta transversal o secante que corta dos rectas paralelas y que además se encuentran internos o externos con respecto a las rectas paralelas.

¿En donde aparecen los ángulos colaterales?

En un diagrama formado por dos rectas paralelas y una  recta transversal o secante.

¿Cuánto da la suma de un par de ángulos colaterales?

Al ser ángulos suplementarios su suma da como resultado $180º$.