Ángulos adyacentes

Los ángulos adyacentes son el par de ángulos que se forman cuando dos rectas que se cruzan entre sí. Estos ángulos se forman en el punto donde ocurre la intersección siendo uno adyacente al otro característica de la cual deriva su nombre. Otro par de ángulos que se forman en la intersección de dos rectas son los ángulos opuestos por el vértice, pero este par de ángulos son opuestos por el vértice y no adyacentes, por lo que no debemos confundirlos con los ángulos adyacentes. Los ángulos adyacentes siempre son suplementarios, es decir, juntos equivalen a \( 180° \)

La siguiente ilustración muestra con dos ejemplos cómo son los ángulos adyacentes. Un ejemplo está pintado de rojo y el otro de azul.

Angulos adyacentes nuevo

Cuando nos encontramos frente a problemas matemáticos verbales de geometría debemos usar todo el arsenal que tenemos, es decir, analizar los diferentes tipos de ángulos que surgen cuando líneas rectas son paralelas entre sí o bien, se cruzan. Conocer y entender bien los distintos tipos de ángulos, junto a nuestra capacidad para utilizar las diversas propiedades de cada uno, pueden facilitarnos, en gran medida, la resolución de muchos problemas de geometría.

En esta sección preferimos enfocarnos en los ángulos adyacentes, pero haremos un breve repaso de sus «hermanos» los ángulos correspondientes, los ángulos alternos, los ángulos opuestos por el vértice y los ángulos colaterales

¿Qué son los ángulos adyacentes?

Antes de explayarnos en el tema de los ángulos adyacentes, comenzaremos por explicar la situación que permite la formación de dichos ángulos. Para simplificarlo nos guiaremos por la ilustración de dos rectas paralelas y una transversal, tal como se describe en el siguiente esquema: 

Rectas Paralela 1

¿Qué podemos aprender de este esquema? Las líneas rectas \( A \) y \( B \) son paralelas (a pesar de que en nuestro caso no sería indispensable para obtener los ángulos adyacentes), y éstas son cortadas por una recta transversal o secante \( C \)

Ahora, luego de haber repasado un poco de teoría básica apoyándonos en un ejemplo gráfico, pasaremos a tocar el tema que nos interesa, es decir, veremos la definición de los ángulos adyacentes, que a su vez nos ayudará a identificarlos con mayor facilidad.


Diferentes tipos de ángulos.

Como bien mencionamos al comienzo de esta sección, los ángulos adyacentes no son los únicos ángulos que podemos tener en una representación de rectas paralelas. A continuación, revisaremos brevemente otros tipos de ángulos que nos pueden ayudar a resolver ejercicios geométricos relacionados con este tema:

Ángulos correspondientes

Son ángulos que surgen cuando una transversal cruza dos o más líneas rectas paralelas. Los ángulos correspondientes se encuentran del mismo lado de la transversal y a la misma altura en relación con la recta paralela adyacente. Los ángulos correspondientes son del mismo tamaño. 

Si necesitas una explicación más profunda puedes consultar el artículo concreto "Ángulos correspondientes". 

La siguiente ilustración representa un par de estos ángulos en color negro:

Angulos correspondientes


Ángulos alternos

Es un par de ángulos que surgen cuando una transversal cruza dos o más líneas rectas paralelas. Los ángulos alternos se encuentran del lado opuesto de la transversal y a una altura diferente en relación con la recta paralela adyacente. Los ángulos alternos son del mismo tamaño. 

Si necesitas una explicación más profunda puedes consultar el artículo concreto "Ángulos alternos". 

El siguiente esquema representa dos pares de estos ángulos, el primer par en color rojo y el segundo par en color azul:

Angulos alternos nuevo


Ángulos colaterales

Es un par de ángulos que surgen cuando una transversal cruza dos o más líneas rectas paralelas. Los ángulos colaterales se encuentran del mismo lado de la transversal y a una altura diferente en relación con la recta paralela adyacente. Los ángulos colaterales se suplementan, es decir, juntos equivalen a 

180º. 

Si necesitas una explicación más profunda puedes consultar el artículo concreto "Ángulos colaterales". 

La siguiente ilustración representa un par de estos ángulos en color rojo:

nuevo 1 - Angulos_colaterales


Ángulos opuestos por el vértice

Se pueden definir como un par de ángulos que surgen en el punto de intersección de dos rectas. Los ángulos opuestos por el vértice son de igual tamaño y se encuentran uno enfrente del otro. 

Si necesitas una explicación más profunda puedes consultar el artículo concreto "Ángulos opuestos por el vértice ". 

El siguiente esquema representa dos pares de estos ángulos, ambos en color rojo:

Ángulos opuestos por el vertice nuevo


Ejercicios de práctica

Ejercicio 1:

En cada una de las siguientes ilustraciones determina si se trata de ángulos adyacentes. Si la respuesta es sí, explica por qué. Si la respuesta es no, explica por qué y especifica qué tipo de ángulo se ve en cada ilustración.

opcion 1

opcion 4

ángulos adyacentes nuevo

Solución: 

  • Ilustración No 1
    En este esquema no hay ángulos adyacentes, más bien son ángulos opuestos por el vértice. El argumento se basa en que, conforme a su definición, los ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos que surgen en el punto de intersección de dos rectas. Los ángulos opuestos por el vértice son de igual tamaño y se encuentran uno enfrente del otro.
  • Ilustración No 2
    En este esquema efectivamente se trata de ángulos adyacentes. El argumento se basa en que, conforme a su definición, los ángulos adyacentes son los que se forman cuando hay dos rectas que se cruzan entre sí. Estos ángulos se forman en el punto donde ocurre la intersección, uno adyacente al otro, característica de la cual deriva su nombre. Los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, juntos equivalen a \( 180º \).
  • Ilustración No 3
    En este esquema no hay ángulos adyacentes, más bien son ángulos correspondientes. El argumento se basa en que, conforme a su definición, los ángulos correspondientes son dos ángulos que surgen cuando una transversal cruza dos o más líneas rectas paralelas. Los ángulos correspondientes se encuentran del mismo lado de la transversal y a la misma altura en relación con la recta paralela adyacente. Los ángulos correspondientes son del mismo tamaño. 

Respuesta:

Ilustración No 1: Ángulos opuestos por el vértice

Ilustración No 2: Ángulos adyacentes 

Ilustración No 3: Ángulos correspondientes


Ejercicio 2:

En el triángulo \( ABC \), sus lados son extendidos para exhibir algunos de sus ángulos exteriores.

El ángulo del vértice \( A \) del triángulo mide \( 55º \).

Calcula la medida de los otros dos ángulos en base a este dato y a los que aparecen en la ilustración.

Angulos_adyacentes_-_Ejercicio_02.original

Solución: 

Observando la ilustración podemos notar que la medida del ángulo adyacente al ángulo del vértice \( B \), mide \( 130º \). Este par de ángulos son ángulos adyacentes. El argumento se basa en que, conforme a su definición, los ángulos adyacentes son los que se forman cuando hay dos rectas que se cruzan entre sí. Estos ángulos se forman en el punto donde ocurre la intersección, uno adyacente al otro, característica de la cual deriva su nombre. Los ángulos adyacentes siempre se suplementan, es decir, juntos equivalen a \( 180º \).

De esto deriva que, el ángulo del vértice \( B \) del triángulo \( ABC \)equivale a \( 180º - 130º = 50º \).

Luego como es bien sabido, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a \( 180º \)

Ahora ya que sabemos la medida de dos de los tres ángulos del triángulo, el ángulo restante que corresponde al vértice C se calcula restando las medidas de los dos ángulos a \( 180º \) obteniendo \( 180º - 55º - 50º = 75º \) grados.

Respuesta: 

El ángulo \( B \) y \( C \) del triángulo \( ABC \) equivalen a \( 50º \) y \( 75º \) respectivamente.


Ejercicio 3: 

Calcula la medida del ángulo \( X \) en base a los datos que aparecen en la ilustración y al material estudiado. 

En el siguiente esquema dado.

Angulos_adyacentes_-_Ejercicio_03.original

Solución: 

Nos percatamos por la ilustración que se trata de tres ángulos que juntos crean un ángulo llano. La medida de un ángulo llano es \( 180º \). El ángulo \( X \) es adyacente al ángulo compuesto por el ángulo recto (\( 90º \)) y de otro equivalente a \( 35º \), es decir los dos juntos miden \( 125º \). Es decir, el ángulo \( X \) y el ángulo que mide \( 125º \) son ángulos adyacentes y se suplementan, es decir, juntos equivalen a \( 180º \)

De lo anterior obtenemos que el ángulo \( X \) equivale a \( 180º - 125º = 55º \) grados. 

Respuesta: 

El ángulo \( X \) equivale a \( 55º \)


Ejercicio 4:

Cuáles son los ángulos marcados con la letra X en la figura

¿Cuáles son los ángulos marcados con la letra \( X \) en la figura?

¿Y cuáles con la letra \( Y \) ?

Contestar a la pregunta sabiendo que \( ABCD \) es un rectángulo. 

Solución: 

Dado que \( ABCD \) es un rectángulo, el lado \( AB \) y \( DC \) son paralelos.

Entonces los ángulos marcados con la letra \( X \) son correspondientes por estar del mismo lado de la transversal que los genera y a la misma altura en relación con la recta paralela adyacente.

Por último los ángulos marcados con la letra \( X \) son adyacentes ya que están formados en la intersección de la extensión de los lados \( AD \) y \( DC \) del rectángulo.

Respuesta: 

Correspondientes / Adyacentes


Ejercicio 5: 

Las rectas \( a \), \( b \) son paralelas.

Encontrar el valor de \( X \).

Las rectas a,b son paralelas

Solución: 

Tomando en cuenta la siguiente ilustración tenemos que el ángulo 1 es correspondiente con el ángulo 3, por lo tanto son iguales.

Luego el ángulo 1 y el ángulo 2 son ángulos adyacentes, por lo tanto son suplementarios y eso nos da la siguiente ecuación:

\( 34° + 5X + 18° = 180° \)

\( 5X = 128° \)

\( X = 25.6° \)

Solución Ejercicio 5

Respuesta: 

\( X=25.6° \)


Ejercicio 6:

Ejercicio 4 Cuántas rectas paralelas hay en la figura

¿Cuántas rectas paralelas hay en la figura?

Solución:

Cuántas rectas paralelas hay en la figura frente a usted Solución

Comencemos viendo si las rectas “\( a \)” y “\( b \)” son paralelas:

Suponiendo que ambas rectas son paralelas, tenemos una transversal que las corta formando en la intersección con la recta “\( a \)” un ángulo de \( 58º \) y un ángulo de \( 123º \) en la intersección con la recta “\( b \)”. Luego, el ángulo adyacente del ángulo de \( 123º \) es el ángulo que suplementa a este último, es decir, un ángulo que mide \( 57º \) y al ser correspondiente con el ángulo de \( 58º \) deberían de ser iguales, lo cual claramente no se cumple. Por lo tanto,las rectas “\( a \)” y “\( b \)” no son paralelas.

Ahora veamos si las rectas “\( b \)” y “\( c \)” son paralelas:

Utilizando un razonamiento similar al anterior, podemos suponer que estas rectas son paralelas. Luego utilizando el ángulo adyacente al ángulo de \( 57º \) contenido en la recta “\( c \)”, el cuál es un ángulo que mide \( 123º \) y el ángulo de \( 123º \) contenido en la recta “\( b \)”, vemos que son iguales como era de esperarse por ser ángulos correspondientes. Por lo tanto las rectas “\( b \)” y “\( c \)” son paralelas.

Ahora veamos si las rectas “\( c \)” y “\( d \)” son paralelas:

El ángulo adyacente al ángulo de \( 57º \) contenido en la recta “\( c \)” que es un ángulo de \( 123º \) y el ángulo de \( 123º \) contenido en la recta “\( d \)”, son ángulos correspondientes. En este caso esto se cumple ya que efectivamente son iguales, por lo tanto las rectas “\( c \)” y “\( d \)” son paralelas.

Ahora veamos si las rectas “\( d \)” y “\( e \)” son paralelas:

Nuevamente supongamos que lo son, entonces el ángulo adyacente al de \( 30º \) contenido en la recta “\( d \)” mide \( 150º \) y junto con el ángulo de \( 150º \) contenido en la recta “\( e \)” forman ángulos correspondientes, por lo tanto, deben deben de ser iguales. Esto es cierto, entonces las rectas “\( d \)” y “\( e \)” son paralelas.

Respuesta:

Las rectas “\( b \)”, “\( c \)”, “\( d \)”, “\( e \)” son paralelas.


Preguntas de repaso:

¿Qué son los ángulos adyacentes?

Son un par de ángulos de ángulos formados a tráves de la interseccion de dos rectas de tal manera que se suplementan, es decir, que juntos forman \( 180º \).


¿Cuál es la principal característica de los ángulos adyacentes?

Que son suplementarios, es decir, sumados generan un ángulo llano (\( 180º \)).


¿En un esquema de rectas paralelas cortadas por una transversal, que par de ángulos tienen la misma propiedad de los ángulos adyacentes, es decir, que sean suplemenatrios?

Los ángulos colaterales.


¿En un par de ángulos adyacentes, cada uno por separado pueden ser ángulos obtusos?

No, ya que al ser ángulos adyacentes estos son suplementarios, es decir, juntos suman \( 180º \) y la suma de dos ángulos obtusos (ángulos mayores a \( 90º \)) supera los \( 180º \).


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