Segmento medio

Segmento medio

El segmento medio es un segmento que conecta los puntos medios de 2 lados.

Segmento medio de un triángulo

El segmento medio de un triángulo cruza por el medio a dos lados, es paralelo al tercer lado
y también es la mitad de su largo.

Demostración del segmento medio de un triángulo

Podremos demostrar que hay un segmento medio en un triángulo si se cumple, al menos, alguna de las siguientes condiciones:

  1. Si en un triángulo hay una línea recta que se extiende desde la mitad de un lado hasta la mitad de otro lado, podemos determinar que se trata de un segmento medio y, por lo tanto, que mide la mitad de la longitud del tercer lado, al cual, de hecho, también es paralela.
  2. Si una línea recta corta a uno de los lados de un triángulo y ésta es paralela a otro lado del triángulo, significa que se trata de un segmento medio y que, por lo tanto, también corta al tercer lado del triángulo y mide la mitad del largo del lado que es paralelo a ella.
  3. Si en un triángulo hay un segmento cuyos extremos se encuentran en dos de sus lados, mide la mitad de la longitud del tercer lado y le es paralelo, podemos determinar que dicho segmento es un segmento medio y, por lo tanto, corta a los lados que toca justo por el medio.

Segmento medio de un trapecio

El segmento medio de un trapecio divide en dos partes iguales los dos lados de los que sale y, además, es paralelo a ambas bases del trapecio y mide la mitad del largo de éstas.

Demostración del segmento medio de un trapecio

Podremos demostrar que hay un segmento medio en un trapecio si se cumple, al menos, una de las siguientes condiciones:

  1. Si en un trapecio hay una línea recta que se extiende desde la mitad de un lado hasta la mitad de otro lado, podemos determinar que se trata de un segmento medio y, por lo tanto, es paralelo a ambas bases del trapecio y mide la mitad del largo de éstas.
  2. Si en un trapecio hay una línea recta que sale de un lado y es paralela a una de las bases del trapecio, podemos determinar que se trata de un segmento medio y, por lo tanto, es paralelo a ambas bases del trapecio, mide la mitad del largo de éstas dos y también corta por el medio al segundo lado que toca.

Segmento medio

El segmento medio es un segmento que conecta los puntos medios de 2 lados.
Es muy simple recordar el significado de este término ya que la palabra «medio» ya nos dice que se trata del punto medio, entonces, cuando nos topemos con el concepto «segmento medio» recordaremos que éste une los puntos medios de dos lados.
Estamos aquí para enseñarte todo lo que debes saber acerca del segmento medio, desde la demostración hasta las magníficas propiedades del segmento que nos ayudarán a resolver ejercicios.
En primer lugar hablaremos del segmento medio de un triángulo y luego pasaremos al segmento medio de un trapecio.


Segmento medio de un triángulo

El segmento medio de un triángulo cruza por el medio a los dos lados de los cuales sale, pero, más allá de esto, cuenta con dos magníficas propiedades que podremos utilizar luego de demostrar que dicho segmento es, de hecho, un segmento medio del triángulo.


Propiedades del segmento medio de un triángulo

El segmento medio de un triángulo mide la mitad del largo del tercer lado
y también le es paralelo.


Veámoslo en una ilustración:

ilustración de un triangulo

Si  \(AD=CD \)
\(​​​​​​​AE=BE\)
entonces \(2DE=CB\)
\(DE∥CB\)


¿Cómo demostraremos que hay un segmento medio en el triángulo?

El teorema habla de las propiedades del segmento medio y de su definición.
Podremos determinar que tenemos ante nosotros un segmento medio de un triángulo si se cumple, al menos, una de las siguientes condiciones:

  • Si en un triángulo hay una línea recta que se extiende desde la mitad de un lado hasta la mitad de otro lado, podemos determinar que se trata de un segmento medio y, por lo tanto, que mide la mitad de la longitud del tercer lado, al cual, de hecho, también es paralela.

Es decir, si sabemos que:

triangulo AD=DC y AE=EB

\(AE=BE\)
\(AD=CD\)

Entonces, podremos determinar que:
\(DE\) se trata de un segmento medio de un triángulo y, por consiguiente,

\( 2DE=CB\)
\(DE∥CB\)

  • Si una línea recta corta a uno de los lados de un triángulo y ésta es paralela a otro lado del triángulo, significa que se trata de un segmento medio y que, por lo tanto, también corta al tercer lado del triángulo y mide la mitad del largo del lado que es paralelo a ella.

Es decir, si sabemos que:

triangulo donde AD=DC

\(AD=CD\)
y también \(DE∥CB \)

Entonces, podremos determinar que:
\(DE\) se trata de un segmento medio de un triángulo y, por consiguiente,
\(AE=BE\)
y también \(2DE=CB\)

  • Si en un triángulo hay un segmento cuyos extremos se encuentran en dos de sus lados, mide la mitad de la longitud del tercer lado y le es paralelo, podemos determinar que dicho segmento es un segmento medio y, por lo tanto, corta a los lados que toca justo por el medio.

Es decir, si sabemos que:

triangulo ADCBEA

\(2DE=CB\)
y también \(DE∥CB \)

Entonces, podremos determinar que:
\(DE\) se trata de un segmento medio de un triángulo y, por consiguiente,
\(AE=BE\)
y también \(AD=CD\)

Algunas acotaciones para una victoria asegurada

  • Nos percatamos de que es fácil recordar que el segmento medio es un segmento que sale del punto medio de un lado hacia el punto medio de otro lado ya que la palabra misma nos lo revela. Pero ¡presta atención! No en todos los casos se usará el concepto «segmento medio», a veces se dirá mediana para describir la línea que corta un lado por el punto medio.
    Por lo tanto, cuando te encuentres con la palabra «mediana» recuerda que probablemente debas buscar un segmento medio del triángulo.
  • Hay figuras con medianas por definición. Por ejemplo, las diagonales del paralelogramo se intersecan por el medio, o sea, son medianas, por lo tanto, si sacamos del punto de intersección de las diagonales un segmento que vaya hasta la arista del paralelogramo, éste será un segmento medio en el correspondiente triángulo que se ha formado por la diagonal.

Segmento medio de un trapecio

El segmento medio de un trapecio es muy similar en sus propiedades al segmento medio de un triángulo... Es lógico ya que, de todas maneras, aún estamos hablando del segmento medio.


Propiedades del segmento medio de un trapecio:

El segmento medio de un trapecio divide en dos partes iguales los dos lados de los que sale y, además, es paralelo a ambas bases del trapecio y mide la mitad del largo de éstas.
Observa, como ya hemos mencionado, sus propiedades son similares a las del segmento medio del triángulo.
Las dos expresiones que debes recordar son: paralelo y mide la mitad.
Pero, no te confundas, en el trapecio el segmento medio mide la mitad de la longitud de las bases - es decir, la mitad del largo de las dos bases juntas.
Podrás utilizar estas propiedades luego de demostrar que hay un segmento medio en el trapecio.
Veamos las propiedades del segmento medio en una ilustración:

Veamos las propiedades del segmento medio en una ilustración

Si  \(EF\) Segmento medio
entonces:
\(AE=DE\)
\(BF=CF\)
\(AB∥EF∥DC\)
\(EF=\frac{BD+DC}{2}\)


¿Cómo podemos demostrar un segmento medio en un trapecio?

El teorema del segmento medio en un trapecio trata de las propiedades.
Si se cumple, al menos, una de las siguientes condiciones podremos determinar que se trata de un segmento medio en un trapecio:

  • Si en un trapecio hay una línea recta que se extiende desde la mitad de un lado hasta la mitad de otro lado, podemos determinar que se trata de un segmento medio y, por lo tanto, es paralelo a ambas bases del trapecio y mide la mitad del largo de éstas.
imagen 1- AE=DE

Es decir, si sabemos que:
\(AE=DE \)
y también 
\(BF=CF \)
Entonces, podremos determinar que:
\(EF \)  es un segmento medio del trapecio
Entonces:
\(AB∥EF∥DC\)

\(EF=\frac{AB+DC}{2}\)

Si en un trapecio hay una línea recta que sale de un lado y es paralela a una de las bases del trapecio, podemos determinar que se trata de un segmento medio y, por lo tanto, es paralelo a ambas bases del trapecio, mide la mitad del largo de éstas dos y también corta por el medio al segundo lado que toca.

Es decir, si sabemos que:

AE=DE

\(AE=DE \)
y también
\(AB∥EF \)
Entonces, podremos determinar que:
\(EF\) es un segmento medio del trapecio y, por consiguiente:
\(AB∥EF∥DC \)
\(BF=CF \)
\(EF=\frac{AB+DC}{2}\)