Representación algebraica de una función

Una función es una coincidencia entre una variable independiente $(X)$ y una variable dependiente $(Y)$. La relación entre las variables se denomina "regla de correspondencia".

Una representación algebraica de una función es en realidad una descripción de la relación entre la variable dependiente $(Y)$ y la variable independiente $(X)$ mediante una ecuación.

La siguiente es la estructura clásica de una representación gráfica:

• $Y=X+3$ , $Y=2X-5$

Por ejemplo, si el dato es que todos los meses, Daniel gana$20.000$ pesos 

La representación algebraica será $X$ para el número de meses $Y$ $f (X)$ para la cantidad ganada $f (x) = 20000X$

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Consigna

En la gráfica de la función lineal que pasa por los puntos $A(2,10)$ y $B(-5,-4)$

Halla la pendiente de la gráfica.

Solución

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Reemplazamos en consecuencia

$x_1=-5,y_1=-4$

$x_2=2,y_2=10$

$\frac{10-\left(-4\right)}{2-\left(-5\right)}=$

$\frac{14}{7}=2$

Respuesta

$2$

Consigna

De la siguiente función, encontrar la pendiente de la recta:

$y=-x+1$

Solución

Para poder encontrar la pendiente de la recta debemos de recordar como es la representación algebraica de una recta:

$y=mx+b$

En donde $m$ es la pendiente, es decir, el coeficiente de la variable independiente es la inclinación o la pediente de la función, por lo tanto en la ecuación

$y=-x+1$

$m=-1$

Y de aqui deducimos que la pendiente es $-1$

Respuesta

$m=-1$

Consigna

Halla la pendiente de la línea recta que pasa por los puntos $(0,4),(-5,6)$

Solución

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Reemplazamos en consecuencia según los datos

$x_1=0,y_1=4$

$x_2=-5,y_2=6$

$\frac{6-4}{-5-0}=$

$\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}$

Respuesta

$-\frac{2}{5}$

Consigna

Dada la función lineal cuya pendiente de la gráfica es $-3$ y pasa por el punto $(-6,-3)$.

Halla la representación algebraica de la función

Solución

$y=m\cdot x+b$

$m=-3$

Reemplazamos en consecuencia

$\left(-6,-3\right)$

$-3=\left(-3\right)\cdot\left(-6\right)+b$

$-3=18+b$

$-21=b$

$y=-3\cdot x-21$

Respuesta

$y=-3\cdot x-21$

Consigna

En la gráfica de la función lineal que pasa por los puntos $A(0,7)$ y $B(8,-3)$

Halla la pendiente del gráfico

Solución

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Reemplazamos en consecuencia mediante los datos

$x_1=0,y_1=7$

$x_2=8,y_2=-3$

$\frac{-3-7}{8-0}=$

$\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}$

Respuesta

$-\frac{5}{4}$

¿Cómo se representa una función algebraica?

En algunos artículos relacionados, se había mencionado que una función la podemos representar de diferentes maneras, de forma verbal, algebraica, tabular y gráfica. En el caso de cómo se representa una función algebraicamente, en pocas palabras se puede decir que se representará en una ecuación, la cual nos indicara la regla de correspondencia entre la variable dependiente $Y$ y la variable independiente $X$

¿Cuál es la representación algebraica de una función lineal?

La representación de una función lineal es aquella donde vamos a visualizar una ecuación en donde represente una línea recta, es decir la variable independiente $X$ este con un exponente uno, es decir, de primer grado.

Ejemplos

Algunas representaciones algebraicas de una función lineal son las siguientes:

$y=x+4$

$y=-x+1$

$y=x-5$

$y=-x-1$

Podemos observar que la variable $X$ tiene como exponente al uno, y si graficáramos esas funciones obtendremos siempre una línea recta, por lo cual representan una función lineal.

¿Cómo es la representación algebraica de una función cuadrática?

Una función cuadrática la vamos a poder observar como una ecuación en donde la variable $X$ tendrá como exponente al $2$, la cual representara una parábola si se graficara. Algunos ejemplos son los siguientes:

$y=x^2+4$

$y=x^2-3$

$y=-x^2+5$

¿Cómo sacar la representación algebraica de una tabla?

Una función la podemos representar verbalmente, algebraicamente, en una tabla de valores y gráficamente, por lo tanto, podemos pasar de una representación a otra, en este caso vamos a estudiar como pasar de una tabla a una representación algebraica, para tal caso veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Consigna. De la siguiente tabla encuentra su representación algebraica

Solución:

De la tabla anterior vamos a tomar dos puntos cualesquiera, para poder sacar su pendiente:

Sean los puntos

$A=\left(-3,-2\right)$,$B=\left(-1, 0\right)$

De donde:

$X_1=-3$,$Y_1=-2$

$X_2=-1$,$Y_2=0$

Entonces sustituimos en la fórmula de la pendiente

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$m=\frac{0-\left(-2\right)}{-1-\left(-3\right)}$

$m=\frac{0-\left(-2\right)}{-1-\left(-3\right)}=\frac{0+2}{-1+3}$

$m=\frac{0+2}{-1+3}=\frac{2}{2}=1$

Entonces $m=1$

Ahora tomando el primer punto

$A=\left(-3,-2\right)$

Sustituimos en la ecuación de la recta:

$y=mx+b$

$-2=1\cdot-3+b$

$-2=-3+b$

$-2+3=b$

$1=b$

Conociendo $m$ y $b$

Sustituimos nuevamente en la ecuación de la recta

$y=mx+b$

$y=1\cdot x+1$

$y=x+1$

Resultado

La expresión algebraica es $y=x+1$.