Altura del triángulo

Establecer la altura de un triángulo

La altura de un triángulo es la parte que une el vértice con el lado opuesto a él de tal manera que se crea un ángulo de 90 grados. 

En todo triángulo hay tres alturas, ya que hay tres vértices de los cuales se puede calcular la altura con respecto al lado que se encuentra opuesto a cada uno de ellos.

La altura puede encontrarse tanto dentro como fuera del triángulo. Si no pasa por dentro del triángulo, se denomina altura exterior. 

A continuación, te dejamos algunos ejemplos de alturas de triángulos:

altura del triangulo

Si está interesado en aprender más sobre otros temas de triángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

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Ejercicios con cálculo de Altura del triángulo:

Ejercicio 1:

Dado el paralelogramo ABCD

CE es la altura del lado AB

\( CB=5 \)

\( AE=7 \)

\( EB=2 \)

imagen de Ejercicio 1 Dado el paralelogramo ABCD

Tarea:

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Solución:

Para encontrar el área, primero se debe buscar la altura del paralelogramo.

Para esto echemos un vistazo al triángulo EBC,

¿Por qué sabemos que es un triángulo rectángulo? Porque es la altura del paralelogramo.

Podemos utilizar el teorema de pitágoras: \( a^2+b^2=c^2 \)

En este caso: \( EB^2+EC^2=BC^2 \)

Reemplazamos la información dada: \( 2^2+EC^2=5^2 \)

Aislamos la variante: \( EC^2=5^2+2^2 \)

Y resolvemos: \( EC^2=25-4=21 \)

\( EC=\sqrt{21} \)

Ahora, lo que nos resta realizar es calcular el área.

Es importante recordar que para esto hay que utilizar la longitud de cada lado AB,

Es decir \( AE+EB=2+7=9 \)

\( \sqrt{21}\times9=41.24 \)

Respuesta:

\( 41.24 \)


Ejercicio 2:

Dado el triángulo rectángulo:

Ejercicio 2 Dado el triángulo rectángulo

Tarea:

¿Cuál es la longitud del tercer lado?

Solución:

La imagen muestra un triángulo del cual conocemos la longitud de dos de sus lados y queremos conocer el valor del tercer lado.

Sabemos también que el triángulo mostrado es rectángulo porque un pequeño recuadro señala cual es el ángulo recto.

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo es rectángulo se cumple lo siguiente:

\( c²=a²+b² \)

En nuestro triángulo rectángulo

\( a=3 \)

\( b=4 \)

\( c=x \)

Al reemplazar en la expresión algebraica del Teorema de Pitágoras los valores de nuestro triángulo, obtenemos la siguiente ecuación:

\( X²=3²+4² \)

\( X²=9+16 \)

\( X²=25 \)

Si ahora extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación podemos despejar la x y obtener el valor buscado

\( X=\sqrt{25} \)

\( X=5 \)

Respuesta:

\( X=5 \)


Ejercicio 3:

Tarea:

¿¿Cómo calculamos el área de un trapecio?

Nos dan el siguiente trapecio con las siguientes características:

Nos dan el siguiente trapecio con las siguientes características

¿Cuál es su altura?

Solución

Fórmula del área de un trapecio:

\( \frac{(Base+Base)}{2}\times altura \)

La fórmula no se muestra bien en la página.

\( \frac{9+6}{2}\times h=30 \)

Y resolvemos:

\( \frac{15}{2}\times h=30 \)

\( 7\frac{1}{2}\times h=30 \)

\( h=\frac{30}{\frac{15}{2}} \)

\( h=\frac{60}{15} \)

\( h=4 \)

Respuesta:

Altura BE es igual a 4 cm.


Ejercicio 4:

Dado el triángulo isósceles ABC.

Y dentro de él se traza EF, paralelo a CB:

Dado el triángulo isósceles ABC

\( AF=5 \)

\( AB=17 \)

\( AG=3 \)

\( AD=8 \)

AD es la altura del triángulo.

¿Cuál es el área del EFBC?

Solución:

Para encontrar el área del trapecio, vale la pena recordar la fórmula de su área: \( \frac{(base + base)}{2}\times altura \)

Nos enfocamos en encontrar las bases.

Para encontrar GF, utilizaremos el teorema de Pitágoras: \( A^2+B^2=C^2 \) en el triángulo AFG

Reemplazamos:

\( 3^2+GF^2=5^2 \)

Aislamos a GF y resolvemos:

\( 9+GF^2=25 \)

\( GF^2=25-9=16 \)

\( GF=4 \)

Operamos con el mismo proceso con el lado DB en el triángulo ABD:

\( 8^2+DB^2=17^2 \)

\( 64+DB^2=289 \)

\( DB^2=289-64=225 \)

\( DB=15 \)

De aquí hay dos caminos para finalizar el ejercicio:

  1. Calcular el área del trapecio GFBD y comprobar que es igual al trapecio EGDC y sumarlos.
  2. Utilizar los datos que descubrimos hasta aquí para encontrar las partes del trapecio y resolver.

Empezamos buscando la altura GD:

\( GD=AD-AG=8-3=5 \)

Ahora, revelamos a EF y CB:

\( GF=GE=4 \)

\( DB=DC=15 \)

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide a la base en dos partes iguales. Por lo tanto:

\( EF=GF\times2=4\times2=8 \)

\( CB=DB\times2=15\times2=30 \)

Reemplazamos los datos en la fórmula del trapecio:

\(\frac{8+30}{2}\times5=\frac{38}{2}\times5=19\times5=95 \)

Respuesta:

\( 95 \)


Ejercicio 5:

Dado el triángulo isósceles ABC,

En su interior se traza EF:

\( AF=5 \)

\( AB=17 \)

\( AG=3 \)

\( AD=8 \)

Dado el triángulo isósceles ABC

Tarea:

¿Cuál es el perímetro del trapecio EFBC?

Solución:

Para encontrar el perímetro del trapecio, es necesario sumar todos sus lados.

Nos centraremos en encontrar las bases.

Para encontrar a GF, usaremos el teorema de Pitágoras: \( A^2+B^2=C^2 \) en el triángulo AFG.

Reemplazamos:

\( 3^2+GF^2=5^2 \)

Aislamos a GF y resolvemos:

\( 9+GF^2=25 \)

\( GF^2=25-9=16 \)

\( GF=4 \)

Operamos el mismo proceso con el lado DB en el triángulo ABD:

\( 8^2+DB^2=17^2 \)

\( 64+DB^2=289 \)

\( DB^2=289-64=225 \)

\( DB=15 \)

Empezamos buscando el lado FB:

\( FB=AB-AF=17-5=12 \)

Ahora, revelamos a EF y CB:

\( GF=GE=4 \)

\( DB=DC=15 \)

Esto se debe a que en un triángulo isósceles, la altura divide la base en dos partes iguales. Por lo tanto:

\( EF=GF\times2=4\times2=8 \)

\( CB=DB\times2=15\times2=30 \)

Lo que resta es calcular:

\( 30+8+12\times2=30+8+24=62 \)

Respuesta:

\( 62 \)