Tasa de variación de una función

Distintos tipos de tasas de variación de una función

La tasa de variación de una función describe el ritmo de modificación que experimentan las variables Y respecto al cambio de las variables X.
El ritmo de cambio puede ser:

  • b>Tasa de variación constante - fija
    Describe una situación en la cual veremos intervalos constantes de variables Y en intervalos constantes de variables X.
    En una función lineal - una recta, la tasa de variación es constante y será la pendiente de la función.
  • Tasa de variación no constante - no es fija
    Describe una situación en la cual veremos intervalos diferentes de variables Y en intervalos constantes de variables X.
    En una función que no es lineal - no una recta, la tasa de variación no será constante. Cada parte de la función tendrá una pendiente diferente.
imagen 1 Distintos tipos de tasas de variación de una función

Podemos ver la tasa de variación representada en una gráfica, una tabla de valores o creando escalones o peldaños en la gráfica de la función.

¿De qué manera se puede indicar la tasa de variación de una función?

En principio, existen tres formas básicas de describir la tasa de variación de una función:


La tasa de variación de una función representada gráficamente
En una gráfica podremos percibir si la tasa de variación de la función es constante o no.
Si la función es una línea recta la tasa de variación será constante.
Si la función no es una línea recta la tasa de variación no será constante.


Tasa de variación de una función representada por una tabla de valores
Tasa de variación de una función representada por una tabla de valores
Creemos una tabla de valores para la función. Iremos colocando las X de a una y descubriremos las Y correspondientes según la función.
Pon atención Los intervalos de X que elijamos deben ser fijos.
Es decir, 1,2,3,4 o 3,5,7,9 por ejemplo
Observaremos en qué ritmo aumenta la Y en la tabla.
Si la Y aumenta en un ritmo constante podremos determinar cuál es la tasa de variación.
Si la Y no aumenta en un ritmo constante a medida que la X lo hace, podremos determinar que la tasa de variación no es constante.


Tasa de variación con peldaños en la gráfica de la función
Podemos trazar gradas sobre la gráfica de la función que nos marquen los intervalos de las X respecto a los intervalos de las Y.
La base del escalón representará el intervalo en las X y la altura simbolizará el intervalo en las Y.


La tasa de variación de una función

Nosotros ya sabemos que una función, de hecho, representa el cambio en Y producido por el cambio en X.
Sin embargo, ¿alguna vez te has puesto a pensar en el ritmo en el que ocurre dicho cambio?
La tasa de variación de una función describe el ritmo en el que cambian las variantes Y respecto al cambio de las variantes X.
El ritmo de variación puede ser constante, fijo
o inconstante, no fijo.
Podemos ver la tasa de variación en la representación gráfica, en la tabla de valores o trazando peldaños en la gráfica de la función.
Luego de que leas esta página completa no te cabrá duda de que sabes todo lo que debes saber acerca de la tasa de variación de las funciones.


Entonces ¿Qué es la tasa de variación de una función?

Como lo hemos señalado, la tasa de variación de una función describe en qué ritmo cambian las variables Y respecto al cambio de las variables X. Se puede decir que la tasa de variación de una función es la pendiente de la función.
Identificaremos a la pendiente según el coeficiente de la X.

Tasa de variación de una función representada gráficamente

Con una gráfica podremos ver la tasa de variación de una función.
Veámoslo en el siguiente ejemplo:
Dada la función y=x+4y=x+4
Ilustremos la función:

Gráfica de la tasa de variación constante

El coeficiente de la X es positivo, por lo tanto, será una función creciente y b la variable independiente es 4, entonces la función cortará el eje Y a través del 4.
Otra forma de ilustrar la función es observar los puntos de intersección de la función con los ejes:
Cuando coloquemos \( y=0 \) encontraremos puntos de intersección con el eje \( x \)
y cuando coloquemos \( x=0 \), encontraremos puntos de intersección con el eje \( y \).

Coloquemos \( y=0 \)
y obtendremos :
\( 0=x+40=x+4 \)

\( x=-4x=−4 \)

Coloquemos ( x=0 \)
y obtendremos :
\( y=0+4y=0+4 \)

\( y=-4y=−4 \)
Ya que la línea de la función es recta en la representación gráfica podremos decir que la tasa de variación de la función es constante.
Por cada X que aumentamos la Y crece en el mismo ritmo.
Además, podemos decir que la tasa de variación de la función es la pendiente de la función, es decir 1.
En otras palabras ¿cuánto cambia la variante Y cuando la X crece en 1? La respuesta es 1.
Si la pendiente fuera 2 diríamos que la tasa de variación de la función es 2.
En ese caso, cuando la X creciera en 1 la Y lo haría en 2.

Y ¿qué pasa con la representación gráfica que describe una tasa de variación no constante?

Gráfica de la tasa de variación inconstante

Ya que la función no es una línea recta no tiene una pendiente fija y su ritmo de cambio no es constante.
Es decir, cuando el valor de la X sube en 1 la variación en Y no será siempre la misma.

Otra manera de ver la tasa de variación es con una tabla de valores.

Tasa de variación de una función representada por una tabla de valores

La tabla de valores es una tabla que muestra los pares de X y de Y para dicha función.
Con un cálculo bastante simple podremos descubrir si la tasa de variación de la función es constante o no y, si lo es, cuál sería.

Observa la siguiente tabla de valores que pertenece a la función con la cual hemos comenzado:

Tabla de la tasa de variación constante

En la tabla podemos ver que, cuando la X crece en 1 también la Y crece constantemente en 1.

Nos preguntaremos:
¿Qué le pasó a la Y cuando la X creció en 1?
Creció en 1.
Nuevamente la X creció en uno. ¿Qué le pasó a la Y?
y así sucesivamente.

Pon atención. La pendiente es la única que influye en la tasa de variación, mientras que la variable independiente no modifica nada.
Evidentemente, hemos obtenido el mismo resultado en la representación gráfica y en la tabla de valores.

Aclaración:
Nos preguntaremos que le pasaría a la Y si la X aumenta en 1.
La Y no tiene por qué crecer en 1. Mientras crezca o disminuya de forma constante, la tasa de variación de la función será constante.

¿Cómo se ve una tasa de variación no constante dentro de la tabla de valores?

Representación en tabla de una función con tasa de variación que no es constante

Se puede ver que los valores de X crecen todo el tiempo en 2.
Pero ¿qué pasa con la Y
¡Su valor crece a un ritmo que no es constante!
En el primer paso la Y creció en 5
En el segundo la Y creció en 11
y en el tercer paso la Y creció en 2.

Por consiguiente, se puede decir que la tasa de variación no es constante.

Tasa de variación constante

La tasa de variación constante o fija describe una situación en la cual para un intervalo fijo entre las variables X también habrá un intervalo fijo entre las variables Y.
Por ejemplo, cuando el intervalo constante de las X es 2 y también el de las Y es constante y no varía de vez en vez.
Si la función se representa con una gráfica recta quiere decir que la tasa de variación es constante.
La tasa de variación es la pendiente de la función.

Tasa de variación que no es constante

La tasa de variación no constante o no fija describe una situación en la cual para un intervalo fijo entre las variables X también habrá intervalos diferentes entre las variables Y.
Por ejemplo, cuando el intervalo constante de las X es 2 y el de las Y no fuera constante y variara de vez en vez.
Si la función no se representa con una gráfica recta quiere decir que la tasa de variación no es constante.
Cada segmento de la función tendrá una tasa de variación diferente, una pendiente distinta.

Tasa de variación representada con peldaños en la gráfica de la función

Se puede ver la tasa de variación de una función trazando peldaños en su gráfica.
¿A qué nos referimos con peldaños?
Llamaremos así a estas marcas porque realmente parecen escalones, peldaños o gradas.
El peldaño marcará el intervalo entre las variables X, o sea, el «salto» entre los valores de X
en relación al intervalo entre las variables Y, es decir, el «salto» en los valores de Y.
La base del peldaño representará el intervalo entre las variables X, y su altura, el de las variables Y.

Tomemos la función del primer ejemplo y tracemos en ella peldaños para comprender la tasa de variación:

\( y=x+4y=x+4 \)

Podemos ver que cuando añadamos 1 a la X
también la Y crecerá en 1.

Gráfica con peldaños de la tasa de variación constante

Ésta es otra manera de ver si el intervalo es constante o no.
En el ejemplo, el intervalo constante equivale a 1.

¡Excelente! Ahora ya sabes todo lo necesario sobre la tasa de variación de las funciones y también todas las formas para descubrir si la tasa es constante o no.


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