Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función

Los intervalos donde la función es creciente muestran cierta situación en la cual los valores de X X y de Y Y crecen a la par. 

Los intervalos donde la función es decreciente exponen cierta situación en la cual el valor de X X en una función aumenta mientras que el de la Y Y disminuye. 

1a. nuevo Intervalos con colores en donde la función es creciente y en donde es decreciente

Qué son la función creciente, decreciente y constante

Función creciente

Si la línea de la gráfica comienza abajo y, a medida que avanza hacia la derecha va subiendo, eso quiere decir que la función es creciente. Es decir, que la función crece cuando los valores de Y Y van aumentando a medida que los de X X crecen (o sea, avanzan de izquierda a derecha)

1a. Nuevo función creciente


Función decreciente

Si la línea de la gráfica comienza arriba y, a medida que avanza hacia la derecha va bajando, eso quiere decir que la función es decreciente. Es decir, que la función disminuye cuando los valores de Y Y van bajando a medida que los de X X crecen (o sea, avanzan de izquierda a derecha)

1a. Función decreciente



Función constante

Si la línea de la gráfica comienza en cierto punto sobre el eje Y Y , y a medida que avanza hacia la derecha se mantiene constante a la misma altura, es decir en el mismo punto sobre el eje Y Y , eso quiere decir que se trata de una función constante. Es decir, que la función es constante cuando los valores de Y Y conservan su lugar y se mantienen fijos a medida que los de X X crecen (o sea, avanzan de izquierda a derecha)

Nuevo Función constante corregido


Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función

Intervalos de función creciente

Para identificar los intervalos donde la función es creciente buscaremos en la gráfica el punto donde la función comienza a subir.

Intervalo de crecimiento de una función

Marcaremos el valor sobre el eje X X . En nuestro caso es 5 -5 . Luego buscaremos sobre el eje X X el punto donde la función deja de subir. En nuestro caso es 7 7 . Por lo tanto, el intervalo de crecimiento de la función será: 

5<X<7 -5<X<7


Lo ilustraremos con una gráfica sencilla: 

nuevo imagen Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

En la gráfica se puede ver que los intervalos de crecimiento de la función son X<3 X<-3 (valores X X inferiores a 3 -3 ) y para los valores de X X que se encuentran entre 0 0 y 3 3 . Es decir, en estos intervalos los valores de la X X y los de la Y Y crecen a la par. 

Además, se desprende de la gráfica que, los intervalos de decrecimiento de la función son para los valores de X X que se encuentran entre el 3 -3 y el 0 0 y para X>3 X>3 . Es decir, en estos intervalos los valores de la X X crecen y los de la Y Y disminuyen al mismo tiempo.  

Ejercicio

Observa que, en la gráfica también se pueden ver los intervalos de decrecimiento de la función. ¿Sabes cuáles son?

Respuesta

10<X<5 -10<X<-5

7<X<10 7<X<10


Intervalo de decrecimiento de la función

Para identificar los intervalos donde la función es decreciente buscaremos en la gráfica el punto donde la función comienza a bajar.

imagen de El intervalo de decrecimiento de la función

Marcaremos el valor sobre el eje X X . En nuestro caso es 7 7 . Luego buscaremos sobre el eje X X el punto donde la función deja de bajar. En nuestro caso es 5 5 . Por consiguiente, el intervalo de decrecimiento de la función será: 

7<X<5 -7<X<5

Ejercicio

Observa que, en la gráfica también se pueden ver los intervalos de crecimiento de la función. ¿Sabes cuáles son?

Respuesta

10<X<7 -10<X<-7

5<X<10 5<X<10


Ejercicios con crecimiento y de decrecimiento de la función:

Ejercicio 1:

Consigna

Halla el área creciente de la función

f(x)=6x212 f(x)=6x^2-12

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que a=6 a=6

Por lo tanto a>0 a>0 y la parábola es el mínimo

En el segundo paso hallamos a x x del vértice

según los datos sabemos que:

a=6,b=0,c=12 a=6,b=0,c=-12

Reemplazamos los datos en la fórmula

x=b2a x=\frac{-b}{2\cdot a}

x=026 x=\frac{-0}{2\cdot6}

x=012 x=\frac{0}{12}

x=0 x=0

Por lo tanto

0<x 0<x Creciente

x<0 x<0 Decreciente

Respuesta

0<x 0<x


Ejercicio 2:

Consigna

Dada la función del diagrama, ¿cuál es su dominio de positividad?

Dada la función del diagrama - cuál es su dominio de positividad

Solución

Tenga en cuenta que toda la función siempre está por encima del eje: x x

Por lo tanto, siempre será positiva. Su área de positividad será para toda x x

Respuesta

Para toda x x


Ejercicio 3:

Consigna

Halla el área creciente de la función

f(x)=4x224 f(x)=-4x^2-24

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que a=4 a=-4

Por lo tanto a<0 a<0 y la parábola es el máximo

En el segundo paso hallamos a x x del vértice

según los datos sabemos que:

a=4,b=0,c=24 a=-4,b=0,c=-24

Reemplazamos los datos en la fórmula

x=b2a x=\frac{-b}{2\cdot a}

x=02(4) x=\frac{-0}{2\cdot\left(-4\right)}

x=08 x=\frac{0}{-8}

x=0 x=0

Por lo tanto x<0 x<0 área creciente

Respuesta

x<0 x<0


Ejercicio 4:

Consigna

Halla el área creciente de la función

f(x)=2x2 f(x)=2x^2

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que a=2 a=2

Por lo tanto a>0 a>0 y la parábola es mínima

En el segundo paso hallamos a x x del vértice

según los datos sabemos que:

a=2,b=0,c=0 a=2,b=0,c=0

Reemplazamos los datos en la fórmula:

x=b2a x=\frac{-b}{2\cdot a}

x=022 x=\frac{0}{2\cdot2}

x=04 x=\frac{0}{4}

x=0 x=0

Por lo tanto hay crecimiento en el área 0<x 0<x

Respuesta

0<x 0<x


Ejercicio 5:

Consigna

Halla el área creciente de la función

f(x)=3x2+12 f(x)=-3x^2+12

Solución

En el primer paso tengamos en cuenta que a=3 a=-3

Por lo tanto a<0 a<0 y la parábola es máxima

En el segundo paso hallamos a x x del vértice

según los datos sabemos que:

a=3,b=0,c=12 a=3,b=0,c=12

Reemplazamos los datos en la fórmula

x=b2a x=\frac{-b}{2\cdot a}

x=02(3) x=\frac{-0}{2\cdot\left(-3\right)}

x=06 x=\frac{0}{-6}

x=0 x=0

Por lo tanto hay crecimiento en el área x<0 x<0

Respuesta

x<0 x<0


Ejercicio 6:

Consigna

Halla el área decreciente de la función

y=(x+1)+1 y=(x+1)+1

Solución

a a coeficiente de x2 x^2

Por lo tanto 0<a 0<a

es el punto mínimo

El vértice de la función es (1,1) \left(-1,1\right)

La función decrece en el área de x<1 x<-1

Respuesta

x<1 x<-1


Ejercicio 7:

Consigna

Dada la función en la gráfica

¿Cuándo la función es positiva?

Cuándo la función es positiva

Solución

El punto de corte con el eje :x x es: (4,0) \left(-4,0\right)

Antes positiva, luego negativa.

Por lo tanto x<4 x<-4

Respuesta

x<4 x<-4